Элемент. математика Примеры

$0.072 v - \frac{243}{v^{2}} = 0$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, v^{2}, 1$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$v^{2}$

Этап 2

Каждый член в $0.072 v - \frac{243}{v^{2}} = 0$ умножим на $v^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $0.072 v - \frac{243}{v^{2}} = 0$ на $v^{2}$ .

$0.072 v \cdot v^{2} - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $v$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем $v^{2}$ .

$0.072 (v^{2} v) - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $v^{2}$ на $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Возведем $v$ в степень $1$ .

$0.072 (v^{2} v^{1}) - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0.072 v^{2 + 1} - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Этап 2.2.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$0.072 v^{3} - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{243}{v^{2}}$ в числитель.

$0.072 v^{3} + \frac{- 243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$0.072 v^{3} + \frac{- 243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$0.072 v^{3} - 243 = 0 v^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $v^{2}$ .

$0.072 v^{3} - 243 = 0$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $243$ к обеим частям уравнения.

$0.072 v^{3} = 243$

Этап 3.2

Вычтем $243$ из обеих частей уравнения.

$0.072 v^{3} - 243 = 0$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $0.072$ из $0.072 v^{3} - 243$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $0.072$ из $0.072 v^{3}$ .

$0.072 (v^{3}) - 243 = 0$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $0.072$ из $- 243$ .

$0.072 v^{3} + 0.072 \cdot - 3375 = 0$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $0.072$ из $0.072 v^{3} + 0.072 \cdot - 3375$ .

$0.072 (v^{3} - 3375) = 0$

Этап 3.3.2

Перепишем $3375$ в виде $15^{3}$ .

$0.072 (v^{3} - 15^{3}) = 0$

Этап 3.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = v$ и $b = 15$ .

$0.072 ((v - 15) (v^{2} + v \cdot 15 + 15^{2})) = 0$

Этап 3.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Перенесем $15$ влево от $v$ .

$0.072 ((v - 15) (v^{2} + 15 v + 15^{2})) = 0$

Этап 3.3.4.1.2

Возведем $15$ в степень $2$ .

$0.072 ((v - 15) (v^{2} + 15 v + 225)) = 0$

Этап 3.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$0.072 (v - 15) (v^{2} + 15 v + 225) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$v - 15 = 0$

$v^{2} + 15 v + 225 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $v - 15$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $v - 15$ к $0$ .

$v - 15 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$v = 15$

Этап 3.6

Приравняем $v^{2} + 15 v + 225$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $v^{2} + 15 v + 225$ к $0$ .

$v^{2} + 15 v + 225 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $v^{2} + 15 v + 225 = 0$ относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 15$ и $c = 225$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $v$ .

$\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 225)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 225}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 225$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 225}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $225$ .

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.3

Вычтем $900$ из $225$ .

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.4

Перепишем $- 675$ в виде $- 1 (675)$ .

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (675)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.7

Перепишем $675$ в виде $15^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $225$ из $675$ .

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.7.2

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.9

Перенесем $15$ влево от $i$ .

$v = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$v = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$v = - \frac{15 - 15 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{15 + 15 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $0.072 (v - 15) (v^{2} + 15 v + 225) = 0$ верно.

$v = 15, - \frac{15 - 15 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{15 + 15 i \sqrt{3}}{2}$