Элемент. математика Примеры

$\frac{36}{v^{2} - 9} + 1 = \frac{2 v}{v + 3}$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{36}{v^{2} - 9} = \frac{2 v}{v + 3} - 1$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{36}{v^{2} - 3^{2}} = \frac{2 v}{v + 3} - 1$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = v$ и $b = 3$ .

$\frac{36}{(v + 3) (v - 3)} = \frac{2 v}{v + 3} - 1$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(v + 3) (v - 3), v + 3, 1$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.5

Множителем $v + 3$ является само значение $v + 3$ .

$(v + 3) = v + 3$

$(v + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.6

Множителем $v - 3$ является само значение $v - 3$ .

$(v - 3) = v - 3$

$(v - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.7

Множителем $v + 3$ является само значение $v + 3$ .

$(v + 3) = v + 3$

$(v + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.8

НОК $v + 3, v - 3, v + 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(v + 3) (v - 3)$

Этап 4

Каждый член в $\frac{36}{(v + 3) (v - 3)} = \frac{2 v}{v + 3} - 1$ умножим на $(v + 3) (v - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{36}{(v + 3) (v - 3)} = \frac{2 v}{v + 3} - 1$ на $(v + 3) (v - 3)$ .

$\frac{36}{(v + 3) (v - 3)} ((v + 3) (v - 3)) = \frac{2 v}{v + 3} ((v + 3) (v - 3)) - ((v + 3) (v - 3))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $(v + 3) (v - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{36}{(v + 3) (v - 3)} ((v + 3) (v - 3)) = \frac{2 v}{v + 3} ((v + 3) (v - 3)) - ((v + 3) (v - 3))$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$36 = \frac{2 v}{v + 3} ((v + 3) (v - 3)) - ((v + 3) (v - 3))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель $v + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$36 = \frac{2 v}{v + 3} ((v + 3) (v - 3)) - ((v + 3) (v - 3))$

Этап 4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$36 = 2 v (v - 3) - ((v + 3) (v - 3))$

Этап 4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 = 2 v \cdot v + 2 v \cdot - 3 - ((v + 3) (v - 3))$

Этап 4.3.1.3

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Перенесем $v$ .

$36 = 2 (v \cdot v) + 2 v \cdot - 3 - ((v + 3) (v - 3))$

Этап 4.3.1.3.2

Умножим $v$ на $v$ .

$36 = 2 v^{2} + 2 v \cdot - 3 - ((v + 3) (v - 3))$

Этап 4.3.1.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$36 = 2 v^{2} - 6 v - ((v + 3) (v - 3))$

Этап 4.3.1.5

Развернем $(v + 3) (v - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 = 2 v^{2} - 6 v - (v (v - 3) + 3 (v - 3))$

Этап 4.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 = 2 v^{2} - 6 v - (v \cdot v + v \cdot - 3 + 3 (v - 3))$

Этап 4.3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 = 2 v^{2} - 6 v - (v \cdot v + v \cdot - 3 + 3 v + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.6

Объединим противоположные члены в $v \cdot v + v \cdot - 3 + 3 v + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Изменим порядок множителей в членах $v \cdot - 3$ и $3 v$ .

$36 = 2 v^{2} - 6 v - (v \cdot v - 3 v + 3 v + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.6.2

Добавим $- 3 v$ и $3 v$ .

$36 = 2 v^{2} - 6 v - (v \cdot v + 0 + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.6.3

Добавим $v \cdot v$ и $0$ .

$36 = 2 v^{2} - 6 v - (v \cdot v + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.7.1

Умножим $v$ на $v$ .

$36 = 2 v^{2} - 6 v - (v^{2} + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.7.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$36 = 2 v^{2} - 6 v - (v^{2} - 9)$

Этап 4.3.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$36 = 2 v^{2} - 6 v - v^{2} - - 9$

Этап 4.3.1.9

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$36 = 2 v^{2} - 6 v - v^{2} + 9$

Этап 4.3.2

Вычтем $v^{2}$ из $2 v^{2}$ .

$36 = v^{2} - 6 v + 9$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $v^{2} - 6 v + 9 = 36$ .

$v^{2} - 6 v + 9 = 36$

Этап 5.2

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$v^{2} - 6 v + 9 - 36 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$v^{2} - 6 v - 27 = 0$

Этап 5.4

Разложим $v^{2} - 6 v - 27$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 27$ , а сумма — $- 6$ .

$- 9, 3$

Этап 5.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(v - 9) (v + 3) = 0$

Этап 5.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$v - 9 = 0$

$v + 3 = 0$

Этап 5.6

Приравняем $v - 9$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $v - 9$ к $0$ .

$v - 9 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$v = 9$

Этап 5.7

Приравняем $v + 3$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $v + 3$ к $0$ .

$v + 3 = 0$

Этап 5.7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$v = - 3$

Этап 5.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(v - 9) (v + 3) = 0$ верно.

$v = 9, - 3$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $\frac{36}{v^{2} - 9} + 1 = \frac{2 v}{v + 3}$ истинным.

$v = 9$