Элемент. математика Примеры

$\log (y) + \log (y - 9) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (y (y - 9)) = 1$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (y \cdot y + y \cdot - 9) = 1$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\log (y^{2} + y \cdot - 9) = 1$

Этап 1.3.2

Перенесем $- 9$ влево от $y$ .

$\log (y^{2} - 9 y) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log (y^{2} - 9 y) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = y^{2} - 9 y$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} - 9 y = 10^{1}$ .

$y^{2} - 9 y = 10$

Этап 3.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 9 y - 10 = 0$

Этап 3.3

Разложим $y^{2} - 9 y - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 9$ .

$- 10, 1$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 10) (y + 1) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 10 = 0$

$y + 1 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $y - 10$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $y - 10$ к $0$ .

$y - 10 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$y = 10$

Этап 3.6

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 10) (y + 1) = 0$ верно.

$y = 10, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (y) + \log (y - 9) = 1$ истинным.

$y = 10$