Элемент. математика Примеры

$y = \sqrt{2 y + 45} - 5$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{2 y + 45} - 5 = y$

Этап 2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 y + 45} = y + 5$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 y + 45}}^{2} = {(y + 5)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 y + 45}$ в виде ${(2 y + 45)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y + 5)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(2 y + 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 y + 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 45)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + 5)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 y + 45)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + 5)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 y + 45)}^{1} = {(y + 5)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$2 y + 45 = {(y + 5)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(y + 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(y + 5)}^{2}$ в виде $(y + 5) (y + 5)$ .

$2 y + 45 = (y + 5) (y + 5)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(y + 5) (y + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 45 = y (y + 5) + 5 (y + 5)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 45 = y \cdot y + y \cdot 5 + 5 (y + 5)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 45 = y \cdot y + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y + 45 = y^{2} + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$2 y + 45 = y^{2} + 5 \cdot y + 5 y + 5 \cdot 5$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$2 y + 45 = y^{2} + 5 y + 5 y + 25$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $5 y$ и $5 y$ .

$2 y + 45 = y^{2} + 10 y + 25$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} + 10 y + 25 = 2 y + 45$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 10 y + 25 - 2 y = 45$

Этап 5.2.2

Вычтем $2 y$ из $10 y$ .

$y^{2} + 8 y + 25 = 45$

Этап 5.3

Вычтем $45$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 8 y + 25 - 45 = 0$

Этап 5.4

Вычтем $45$ из $25$ .

$y^{2} + 8 y - 20 = 0$

Этап 5.5

Разложим $y^{2} + 8 y - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $8$ .

$- 2, 10$

Этап 5.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 2) (y + 10) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 10 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 5.8

Приравняем $y + 10$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $y + 10$ к $0$ .

$y + 10 = 0$

Этап 5.8.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$y = - 10$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 2) (y + 10) = 0$ верно.

$y = 2, - 10$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $y = \sqrt{2 y + 45} - 5$ истинным.

$y = 2$