Элемент. математика Примеры

$8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}} = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ из $8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ из $8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}} = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ из ${(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ из ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}}) = 0$

Этап 1.2

Разделим $3$ на $3$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + y^{2} - 4) = 0$

Этап 1.3

Упростим.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + y^{2} - 4) = 0$

Этап 1.4

Добавим $8 y^{2}$ и $y^{2}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (9 y^{2} - 4) = 0$

Этап 1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $9 y^{2} - 4$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем $9 y^{2}$ в виде ${(3 y)}^{2}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ({(3 y)}^{2} - 4) = 0$

Этап 1.5.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 1.5.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 y$ и $b = 2$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ((3 y + 2) (3 y - 2)) = 0$

Этап 1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 y + 2) (3 y - 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$

$3 y + 2 = 0$

$3 y - 2 = 0$

Этап 3

Приравняем ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ к $0$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 3.2

Решим ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $y^{2} - 4$ к $0$ .

$y^{2} - 4 = 0$

Этап 3.2.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = 4$

Этап 3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4}$

Этап 3.2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.2.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 2$

Этап 3.2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 2$

Этап 3.2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 2$

Этап 3.2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 2, - 2$

Этап 4

Приравняем $3 y + 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 y + 2$ к $0$ .

$3 y + 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $3 y + 2 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 y = - 2$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $3 y = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $3 y = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2}{3}$

Этап 5

Приравняем $3 y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 y - 2$ к $0$ .

$3 y - 2 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 y - 2 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 y = 2$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 y = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 y = 2$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 y + 2) (3 y - 2) = 0$ верно.

$y = 2, - 2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = 2, - 2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$y = 2, - 2, - 0.\overline{6}, 0.\overline{6}$