Элемент. математика Примеры

$5 - \frac{2 y - 2}{y + 3} = \frac{y + 3}{y - 3}$

Этап 1

Вынесем множитель $2$ из $2 y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$5 - \frac{2 (y) - 2}{y + 3} = \frac{y + 3}{y - 3}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$5 - \frac{2 (y) + 2 (- 1)}{y + 3} = \frac{y + 3}{y - 3}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (y) + 2 (- 1)$ .

$5 - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} = \frac{y + 3}{y - 3}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, y + 3, y - 3$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $y + 3$ является само значение $y + 3$ .

$(y + 3) = y + 3$

$(y + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $y - 3$ является само значение $y - 3$ .

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $y + 3, y - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y + 3) (y - 3)$

Этап 3

Каждый член в $5 - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} = \frac{y + 3}{y - 3}$ умножим на $(y + 3) (y - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $5 - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} = \frac{y + 3}{y - 3}$ на $(y + 3) (y - 3)$ .

$5 ((y + 3) (y - 3)) - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Развернем $(y + 3) (y - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (y (y - 3) + 3 (y - 3)) - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 (y - 3)) - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3) - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.2

Объединим противоположные члены в $y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $y \cdot - 3$ и $3 y$ .

$5 (y \cdot y - 3 y + 3 y + 3 \cdot - 3) - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.2.2

Добавим $- 3 y$ и $3 y$ .

$5 (y \cdot y + 0 + 3 \cdot - 3) - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.2.3

Добавим $y \cdot y$ и $0$ .

$5 (y \cdot y + 3 \cdot - 3) - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $y$ на $y$ .

$5 (y^{2} + 3 \cdot - 3) - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$5 (y^{2} - 9) - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$5 y^{2} + 5 \cdot - 9 - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.5

Умножим $5$ на $- 9$ .

$5 y^{2} - 45 - \frac{2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 (y - 1)}{y + 3}$ в числитель.

$5 y^{2} - 45 + \frac{- 2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$5 y^{2} - 45 + \frac{- 2 (y - 1)}{y + 3} ((y + 3) (y - 3)) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$5 y^{2} - 45 - 2 (y - 1) (y - 3) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$5 y^{2} - 45 + (- 2 y - 2 \cdot - 1) (y - 3) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.8

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$5 y^{2} - 45 + (- 2 y + 2) (y - 3) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.9

Развернем $(- 2 y + 2) (y - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 y^{2} - 45 - 2 y (y - 3) + 2 (y - 3) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 y^{2} - 45 - 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 3 + 2 (y - 3) = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 y^{2} - 45 - 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1.1.1

Перенесем $y$ .

$5 y^{2} - 45 - 2 (y \cdot y) - 2 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.10.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$5 y^{2} - 45 - 2 y^{2} - 2 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.10.1.2

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$5 y^{2} - 45 - 2 y^{2} + 6 y + 2 y + 2 \cdot - 3 = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.10.1.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$5 y^{2} - 45 - 2 y^{2} + 6 y + 2 y - 6 = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.1.10.2

Добавим $6 y$ и $2 y$ .

$5 y^{2} - 45 - 2 y^{2} + 8 y - 6 = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $2 y^{2}$ из $5 y^{2}$ .

$3 y^{2} - 45 + 8 y - 6 = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $6$ из $- 45$ .

$3 y^{2} + 8 y - 51 = \frac{y + 3}{y - 3} ((y + 3) (y - 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $y - 3$ из $(y + 3) (y - 3)$ .

$3 y^{2} + 8 y - 51 = \frac{y + 3}{y - 3} ((y - 3) (y + 3))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} + 8 y - 51 = \frac{y + 3}{y - 3} ((y - 3) (y + 3))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} + 8 y - 51 = (y + 3) (y + 3)$

Этап 3.3.2

Возведем $y + 3$ в степень $1$ .

$3 y^{2} + 8 y - 51 = {(y + 3)}^{1} (y + 3)$

Этап 3.3.3

Возведем $y + 3$ в степень $1$ .

$3 y^{2} + 8 y - 51 = {(y + 3)}^{1} {(y + 3)}^{1}$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y^{2} + 8 y - 51 = {(y + 3)}^{1 + 1}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$3 y^{2} + 8 y - 51 = {(y + 3)}^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим ${(y + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем.

$3 y^{2} + 8 y - 51 = 0 + 0 + {(y + 3)}^{2}$

Этап 4.1.2

Перепишем ${(y + 3)}^{2}$ в виде $(y + 3) (y + 3)$ .

$3 y^{2} + 8 y - 51 = (y + 3) (y + 3)$

Этап 4.1.3

Развернем $(y + 3) (y + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} + 8 y - 51 = y (y + 3) + 3 (y + 3)$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} + 8 y - 51 = y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3)$

Этап 4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} + 8 y - 51 = y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3$

Этап 4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$3 y^{2} + 8 y - 51 = y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3$

Этап 4.1.4.1.2

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$3 y^{2} + 8 y - 51 = y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3$

Этап 4.1.4.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$3 y^{2} + 8 y - 51 = y^{2} + 3 y + 3 y + 9$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3 y$ и $3 y$ .

$3 y^{2} + 8 y - 51 = y^{2} + 6 y + 9$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} + 8 y - 51 - y^{2} = 6 y + 9$

Этап 4.2.2

Вычтем $6 y$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} + 8 y - 51 - y^{2} - 6 y = 9$

Этап 4.2.3

Вычтем $y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 8 y - 51 - 6 y = 9$

Этап 4.2.4

Вычтем $6 y$ из $8 y$ .

$2 y^{2} + 2 y - 51 = 9$

Этап 4.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} + 2 y - 51 - 9 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $9$ из $- 51$ .

$2 y^{2} + 2 y - 60 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{2} + 2 y - 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{2}$ .

$2 (y^{2}) + 2 y - 60 = 0$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$2 (y^{2}) + 2 (y) - 60 = 0$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 60$ .

$2 (y^{2}) + 2 y + 2 \cdot - 30 = 0$

Этап 4.5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (y^{2}) + 2 y$ .

$2 (y^{2} + y) + 2 \cdot - 30 = 0$

Этап 4.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (y^{2} + y) + 2 \cdot - 30$ .

$2 (y^{2} + y - 30) = 0$

Этап 4.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Разложим $y^{2} + y - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $1$ .

$- 5, 6$

Этап 4.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((y - 5) (y + 6)) = 0$

Этап 4.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (y - 5) (y + 6) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 6 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

Этап 4.8

Приравняем $y + 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $y + 6$ к $0$ .

$y + 6 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$y = - 6$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (y - 5) (y + 6) = 0$ верно.

$y = 5, - 6$