Элемент. математика Примеры

$3 \cdot 3^{2 y} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

Этап 1

Перепишем $3^{2 y}$ в виде степенного выражения.

$3 \cdot {(3^{y})}^{2} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $3^{y}$ .

$3 \cdot u^{2} - 4 \cdot u = - 1$

Этап 3

Умножим $- 4$ на $u$ .

$3 u^{2} - 4 u = - 1$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 u$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Этап 4.2.1.2

Запишем $- 4$ как $- 1$ плюс $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Этап 4.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Этап 4.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Этап 4.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $3 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $3 u - 1$ к $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $3 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 u = 1$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $3 u = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = 1$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Этап 4.5

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 u - 1) (u - 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{3}, 1$

Этап 5

Подставим $\frac{1}{3}$ вместо $u$ в $u = 3^{y}$ .

$\frac{1}{3} = 3^{y}$

Этап 6

Решим $\frac{1}{3} = 3^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $3^{y} = \frac{1}{3}$ .

$3^{y} = \frac{1}{3}$

Этап 6.2

Возведем $3$ в степень $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{3^{1}}$

Этап 6.3

Перенесем $3^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{y} = 3^{- 1}$

Этап 6.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$y = - 1$

Этап 7

Подставим $1$ вместо $u$ в $u = 3^{y}$ .

$1 = 3^{y}$

Этап 8

Решим $1 = 3^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $3^{y} = 1$ .

$3^{y} = 1$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{y}) = \ln (1)$

Этап 8.3

Развернем $\ln (3^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (3) = \ln (1)$

Этап 8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$y \ln (3) = 0$

Этап 8.5

Разделим каждый член $y \ln (3) = 0$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Разделим каждый член $y \ln (3) = 0$ на $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 8.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 8.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 8.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Разделим $0$ на $\ln (3)$ .

$y = 0$

Этап 9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$y = - 1, 0$