Элемент. математика Примеры

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$

Этап 1

Упростим $0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 + 0 + 0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$

Этап 1.2

Перепишем ${(y - \frac{1}{3})}^{2}$ в виде $(y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3})$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 ((y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3}))$

Этап 1.3

Развернем $(y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y (y - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (y - \frac{1}{3}))$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y \cdot y + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (y - \frac{1}{3}))$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y \cdot y + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Этап 1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Этап 1.4.1.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Этап 1.4.1.3

Объединим $y$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Этап 1.4.1.4

Умножим $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3})$

Этап 1.4.1.4.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 1.4.1.4.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3})$

Этап 1.4.1.4.4

Умножим $3$ на $3$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{9})$

Этап 1.4.2

Вычтем $\frac{y}{3}$ из $- \frac{y}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - 2 \frac{y}{3} + \frac{1}{9})$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $- 2$ и $\frac{y}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{1}{9})$

Этап 1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{2 y}{3} + \frac{1}{9})$

Этап 1.6

Умножим $0$ на $y^{2} - \frac{2 y}{3} + \frac{1}{9}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 2$ и $c = 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $7$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 84}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.3

Вычтем $84$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.4

Перепишем $- 80$ в виде $- 1 (80)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (80)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.7

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{6}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{6}$ .

$y = \frac{1 \pm 2 i \sqrt{5}}{3}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{1 + 2 i \sqrt{5}}{3}, \frac{1 - 2 i \sqrt{5}}{3}$