Элемент. математика Примеры

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y = 7$

Этап 1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y - 7 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = x^{2} + 4 x - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 7))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 16 x + 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Добавим $100$ и $28$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} - 16 x + 128$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 16 x + 128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $128$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (32)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (32)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (32)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.1.2

Запишем $- 4$ как $4$ плюс $- 8$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (4 - 8) x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 4 x - 8 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 4 x) - 8 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (x (- x + 4) + 8 (- x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 ((- x + 4) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7

Перепишем $4 (- x + 4) (x + 8)$ в виде $2^{2} ((- x + 2^{2}) (x + 8))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2^{2}) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2^{2}) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 2^{2}) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 5 + \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$

$y = 5 - \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$