Элемент. математика Примеры

$3 y - 4 = \sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{y^{2} - 3 y + 6} = 3 y - 4$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y^{2} - 3 y + 6}}^{2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$ в виде ${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{1} = {(3 y - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$y^{2} - 3 y + 6 = {(3 y - 4)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(3 y - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(3 y - 4)}^{2}$ в виде $(3 y - 4) (3 y - 4)$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = (3 y - 4) (3 y - 4)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(3 y - 4) (3 y - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y - 4) - 4 (3 y - 4)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y - 4)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 4$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 12 y - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 12 y + 16$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $12 y$ из $- 12 y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 24 y + 16$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $9 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 3 y + 6 - 9 y^{2} = - 24 y + 16$

Этап 4.1.2

Добавим $24 y$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 3 y + 6 - 9 y^{2} + 24 y = 16$

Этап 4.1.3

Вычтем $9 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$- 8 y^{2} - 3 y + 6 + 24 y = 16$

Этап 4.1.4

Добавим $- 3 y$ и $24 y$ .

$- 8 y^{2} + 21 y + 6 = 16$

Этап 4.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 8 y^{2} + 21 y + 6 - 16 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $16$ из $6$ .

$- 8 y^{2} + 21 y - 10 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 y^{2} + 21 y - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 y^{2}$ .

$- (8 y^{2}) + 21 y - 10 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $21 y$ .

$- (8 y^{2}) - (- 21 y) - 10 = 0$

Этап 4.4.1.3

Перепишем $- 10$ в виде $- 1 (10)$ .

$- (8 y^{2}) - (- 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 y^{2}) - (- 21 y)$ .

$- (8 y^{2} - 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 y^{2} - 21 y) - 1 (10)$ .

$- (8 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot 10 = 80$ , а сумма — $b = - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 21$ из $- 21 y$ .

$- (8 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.2

Запишем $- 21$ как $- 5$ плюс $- 16$

$- (8 y^{2} + (- 5 - 16) y + 10) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (8 y^{2} - 5 y - 16 y + 10) = 0$

Этап 4.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((8 y^{2} - 5 y) - 16 y + 10) = 0$

Этап 4.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (y (8 y - 5) - 2 (8 y - 5)) = 0$

Этап 4.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $8 y - 5$ .

$- ((8 y - 5) (y - 2)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (8 y - 5) (y - 2) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 y - 5 = 0$

$y - 2 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $8 y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $8 y - 5$ к $0$ .

$8 y - 5 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $8 y - 5 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$8 y = 5$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $8 y = 5$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $8 y = 5$ на $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{5}{8}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y}{8} = \frac{5}{8}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5}{8}$

Этап 4.7

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (8 y - 5) (y - 2) = 0$ верно.

$y = \frac{5}{8}, 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $3 y - 4 = \sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$ истинным.

$y = 2$