Элемент. математика Примеры

$z^{- 4} - 3 z^{- 2} - 4 = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} - 3 z^{- 2} - 4 = 0$

Этап 1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} - 3 \frac{1}{z^{2}} - 4 = 0$

Этап 1.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{z^{2}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} + \frac{- 3}{z^{2}} - 4 = 0$

Этап 1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$z^{4}, z^{2}, 1, 1$

Этап 2.2

Since $z^{4}, z^{2}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $z^{4}, z^{2}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множители $z^{4}$ — $z \cdot z \cdot z \cdot z$ , то есть $z$ , умноженный сам на себя $4$ раз.

$z^{4} = z \cdot z \cdot z \cdot z$

$z$ встречается $4$ раз.

Этап 2.7

Множители $z^{2}$ — $z \cdot z$ , то есть $z$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$z^{2} = z \cdot z$

$z$ встречается $2$ раз.

Этап 2.8

НОК $z^{4}, z^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$z \cdot z \cdot z \cdot z$

Этап 2.9

Упростим $z \cdot z \cdot z \cdot z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $z$ на $z$ .

$z^{2} \cdot z \cdot z$

Этап 2.9.2

Умножим $z^{2}$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Умножим $z^{2}$ на $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$z^{2} \cdot z^{1} \cdot z$

Этап 2.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$z^{2 + 1} \cdot z$

Этап 2.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$z^{3} \cdot z$

Этап 2.9.3

Умножим $z^{3}$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Умножим $z^{3}$ на $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$z^{3} \cdot z^{1}$

Этап 2.9.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$z^{3 + 1}$

Этап 2.9.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$z^{4}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$ умножим на $z^{4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$ на $z^{4}$ .

$\frac{1}{z^{4}} z^{4} - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $z^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{z^{4}} z^{4} - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{z^{2}}$ в числитель.

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $z^{2}$ из $z^{4}$ .

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} (z^{2} z^{2}) - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Этап 3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} (z^{2} z^{2}) - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$1 - 3 z^{2} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $z^{4}$ .

$1 - 3 z^{2} - 4 z^{4} = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $u = z^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$- 4 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

$u = z^{2}$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 u^{2} - 3 u + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 3 u + 1 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 u$ .

$- (4 u^{2}) - (3 u) + 1 = 0$

Этап 4.2.1.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (4 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (4 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 u^{2} + 3 u) - 1 (- 1)$ .

$- (4 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 u$ .

$- (4 u^{2} + 3 (u) - 1) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$- (4 u^{2} + (- 1 + 4) u - 1) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (4 u^{2} - 1 u + 4 u - 1) = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((4 u^{2} - 1 u) + 4 u - 1) = 0$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (u (4 u - 1) + 1 (4 u - 1)) = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$- ((4 u - 1) (u + 1)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (4 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $4 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 1$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Этап 4.5

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (4 u - 1) (u + 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{4}, - 1$

Этап 4.7

Подставим вещественное значение $u = z^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$z^{2} = \frac{1}{4}$

${(z^{2})}^{1} = - 1$

Этап 4.8

Решим первое уравнение относительно $z$ .

$z^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 4.9

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 4.9.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.9.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 4.9.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.9.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$z = \pm \frac{1}{2}$

Этап 4.9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = \frac{1}{2}$

Этап 4.9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - \frac{1}{2}$

Этап 4.9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 4.10

Решим второе уравнение относительно $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 1$

Этап 4.11

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Избавимся от скобок.

$z^{2} = - 1$

Этап 4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 4.11.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$z = \pm i$

Этап 4.11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = i$

Этап 4.11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - i$

Этап 4.11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = i, - i$

Этап 4.12

Решением $- 4 z^{4} - 3 z^{2} + 1 = 0$ является $z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$ .

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$