Элемент. математика Примеры

$z^{4} + z^{3} + z^{2} + 3 z - 6 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$z^{3} + 3 z + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $z$ из $z^{3} + 3 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $z$ из $z^{3}$ .

$z \cdot z^{2} + 3 z + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $z$ из $3 z$ .

$z \cdot z^{2} + z \cdot 3 + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $z$ из $z \cdot z^{2} + z \cdot 3$ .

$z (z^{2} + 3) + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Этап 1.3

Перепишем $z^{4}$ в виде ${(z^{2})}^{2}$ .

$z (z^{2} + 3) + {(z^{2})}^{2} + z^{2} - 6 = 0$

Этап 1.4

Пусть $u = z^{2}$ . Подставим $u$ вместо $z^{2}$ для всех.

$z (z^{2} + 3) + u^{2} + u - 6 = 0$

Этап 1.5

Разложим $u^{2} + u - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$z (z^{2} + 3) + (u - 2) (u + 3) = 0$

Этап 1.6

Заменим все вхождения $u$ на $z^{2}$ .

$z (z^{2} + 3) + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3) = 0$

Этап 1.7

Вынесем множитель $z^{2} + 3$ из $z (z^{2} + 3) + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $z^{2} + 3$ из $z (z^{2} + 3)$ .

$(z^{2} + 3) z + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3) = 0$

Этап 1.7.2

Вынесем множитель $z^{2} + 3$ из $(z^{2} - 2) (z^{2} + 3)$ .

$(z^{2} + 3) z + (z^{2} + 3) (z^{2} - 2) = 0$

Этап 1.7.3

Вынесем множитель $z^{2} + 3$ из $(z^{2} + 3) z + (z^{2} + 3) (z^{2} - 2)$ .

$(z^{2} + 3) (z + z^{2} - 2) = 0$

Этап 1.8

Пусть $u = z$ . Подставим $u$ вместо $z$ для всех.

$(z^{2} + 3) (u + u^{2} - 2) = 0$

Этап 1.9

Разложим $u + u^{2} - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(z^{2} + 3) ((u - 1) (u + 2)) = 0$

Этап 1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $z$ .

$(z^{2} + 3) ((z - 1) (z + 2)) = 0$

Этап 1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(z^{2} + 3) (z - 1) (z + 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z^{2} + 3 = 0$

$z - 1 = 0$

$z + 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $z^{2} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $z^{2} + 3$ к $0$ .

$z^{2} + 3 = 0$

Этап 3.2

Решим $z^{2} + 3 = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} = - 3$

Этап 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$z = \pm i \sqrt{3}$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = i \sqrt{3}$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - i \sqrt{3}$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 4

Приравняем $z - 1$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $z - 1$ к $0$ .

$z - 1 = 0$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$z = 1$

Этап 5

Приравняем $z + 2$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $z + 2$ к $0$ .

$z + 2 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$z = - 2$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(z^{2} + 3) (z - 1) (z + 2) = 0$ верно.

$z = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}, 1, - 2$