Элемент. математика Примеры

$z^{2} = 8 z - 32$

Этап 1

Вычтем $8 z$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} - 8 z = - 32$

Этап 2

Добавим $32$ к обеим частям уравнения.

$z^{2} - 8 z + 32 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = 32$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $z$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 32)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $32$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 128}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Вычтем $128$ из $64$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Перепишем $- 64$ в виде $- 1 (64)$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (64)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$z = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$z = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$z = \frac{8 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$z = \frac{8 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$z = \frac{8 \pm 8 i}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{8 \pm 8 i}{2}$ .

$z = 4 \pm 4 i$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$z = 4 + 4 i, 4 - 4 i$