Элемент. математика Примеры

${(z + 3)}^{- \frac{2}{3}} - 2 {(z + 3)}^{- \frac{1}{3}} = 3$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(z + 3)}^{\frac{2}{3}}} - 2 {(z + 3)}^{- \frac{1}{3}} = 3$

Этап 1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(z + 3)}^{\frac{2}{3}}} - 2 \frac{1}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 3$

Этап 1.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(z + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 3$

Этап 1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(z + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 3$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(z + 3)}^{\frac{2}{3}}, {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $z + 3$ является само значение $z + 3$ .

$(z + 3) = z + 3$

$(z + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

НОК ${(z + 3)}^{\frac{2}{3}}, {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{{(z + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 3$ умножим на ${(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{{(z + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 3$ на ${(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{{(z + 3)}^{\frac{2}{3}}} {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} = 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель ${(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(z + 3)}^{\frac{2}{3}}} {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} = 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} = 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель ${(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ в числитель.

$1 + \frac{- 2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} = 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель ${(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ из ${(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{- 2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} ({(z + 3)}^{\frac{1}{3}} {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}) = 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{- 2}{{(z + 3)}^{\frac{1}{3}}} ({(z + 3)}^{\frac{1}{3}} {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}) = 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$1 - 2 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} = 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}}$ из обеих частей уравнения.

$1 - 2 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 1 \cdot - 3 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 - 2 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$1 + (1 - 3) {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} = 0$

Этап 4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 1 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} = 0$

Этап 4.2.1.1.4

Умножим ${(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}) - 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(z + 3)}^{\frac{2}{3}} = 0$

Этап 4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$1 (1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}) - {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot (3 (1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}})) = 0$

Этап 4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$(1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}) (1 - {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3) = 0$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}) (1 - 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} = 0$

$1 - 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 4.4

Приравняем $1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ к $0$ .

$1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 4.4.2

Решим $1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

${(z + 3)}^{\frac{1}{3}} = - 1$

Этап 4.4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(z + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1.1

Упростим ${({(z + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(z + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(z + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(z + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(z + 3)}^{1} = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.4.2.3.1.1.2

Упростим.

$z + 3 = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$z + 3 = - 1$

Этап 4.4.2.4

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$z = - 1 - 3$

Этап 4.4.2.4.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$z = - 4$

Этап 4.5

Приравняем $1 - 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $1 - 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ к $0$ .

$1 - 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 4.5.2

Решим $1 - 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}} = - 1$

Этап 4.5.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.5.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.1

Упростим ${(- 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 3)}^{3} {({(z + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.5.2.3.1.1.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- 27 {({(z + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.5.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(z + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 27 {(z + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.5.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- 27 {(z + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.5.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- 27 {(z + 3)}^{1} = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.5.2.3.1.1.4

Упростим.

$- 27 (z + 3) = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.5.2.3.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 27 z - 27 \cdot 3 = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.5.2.3.1.1.6

Умножим $- 27$ на $3$ .

$- 27 z - 81 = {(- 1)}^{3}$

Этап 4.5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 27 z - 81 = - 1$

Этап 4.5.2.4

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.1

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.1.1

Добавим $81$ к обеим частям уравнения.

$- 27 z = - 1 + 81$

Этап 4.5.2.4.1.2

Добавим $- 1$ и $81$ .

$- 27 z = 80$

Этап 4.5.2.4.2

Разделим каждый член $- 27 z = 80$ на $- 27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.2.1

Разделим каждый член $- 27 z = 80$ на $- 27$ .

$\frac{- 27 z}{- 27} = \frac{80}{- 27}$

Этап 4.5.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 27 z}{- 27} = \frac{80}{- 27}$

Этап 4.5.2.4.2.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{80}{- 27}$

Этап 4.5.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$z = - \frac{80}{27}$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 + {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}) (1 - 3 {(z + 3)}^{\frac{1}{3}}) = 0$ верно.

$z = - 4, - \frac{80}{27}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$z = - 4, - \frac{80}{27}$

Десятичная форма:

$z = - 4, - 2.\overline{962}$

Форма смешанных чисел:

$z = - 4, - 2 \frac{26}{27}$