Элемент. математика Примеры

${(1 + z)}^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{5} + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Этап 1.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 \cdot (1 z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Этап 1.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 z + 10 \cdot (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Этап 1.2.5

Умножим $10$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Этап 1.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Этап 1.2.7

Умножим $10$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Этап 1.2.8

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Этап 1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1^{5} + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1 (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.3

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 (- z) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.5

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1 {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.6

Умножим $10$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 {(- z)}^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.7

Применим правило умножения к $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 ({(- 1)}^{2} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.9

Умножим $z^{2}$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.10

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.11

Умножим $10$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 {(- z)}^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.12

Применим правило умножения к $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 ({(- 1)}^{3} z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.13

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 (- z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.14

Умножим $- 1$ на $10$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.15

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 {(- z)}^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.16

Применим правило умножения к $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 ({(- 1)}^{4} z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.17

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 (1 z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.18

Умножим $z^{4}$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Этап 1.4.19

Применим правило умножения к $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- 1)}^{5} z^{5}) = 0$

Этап 1.4.20

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} - z^{5}) = 0$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 \cdot 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Этап 1.6.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Этап 1.6.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Этап 1.6.4

Умножим $- 10$ на $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Этап 1.6.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Этап 1.6.6

Умножим $- - z^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + 1 z^{5} = 0$

Этап 1.6.6.2

Умножим $z^{5}$ на $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Этап 1.7

Вычтем $1$ из $1$ .

$5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 0 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Этап 1.8

Добавим $5 z$ и $0$ .

$10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Этап 1.9

Вычтем $10 z^{2}$ из $10 z^{2}$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Этап 1.10

Добавим $10 z^{3}$ и $0$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Этап 1.11

Добавим $10 z^{3}$ и $10 z^{3}$ .

$20 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Этап 1.12

Вычтем $5 z^{4}$ из $5 z^{4}$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + z^{5} = 0$

Этап 1.13

Добавим $20 z^{3}$ и $0$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + z^{5} = 0$

Этап 1.14

Добавим $z^{5}$ и $z^{5}$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 5 z + 5 z = 0$

Этап 1.15

Добавим $5 z$ и $5 z$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 10 z = 0$

Этап 1.16

Изменим порядок членов.

$2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Этап 1.17

Вынесем множитель $2 z$ из $2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1

Вынесем множитель $2 z$ из $2 z^{5}$ .

$2 z (z^{4}) + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Этап 1.17.2

Вынесем множитель $2 z$ из $20 z^{3}$ .

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 10 z = 0$

Этап 1.17.3

Вынесем множитель $2 z$ из $10 z$ .

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Этап 1.17.4

Вынесем множитель $2 z$ из $2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2})$ .

$2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Этап 1.17.5

Вынесем множитель $2 z$ из $2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5)$ .

$2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z = 0$

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Этап 3

Приравняем $z$ к $0$ .

$z = 0$

Этап 4

Приравняем $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ к $0$ .

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Этап 4.2

Решим $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $u = z^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 10 u + 5 = 0$

$u = z^{2}$

Этап 4.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 10$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.3

Вычтем $20$ из $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.4

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Этап 4.2.4.3

Упростим $\frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 \sqrt{5}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - 5 + 2 \sqrt{5}, - 5 - 2 \sqrt{5}$

Этап 4.2.6

Подставим вещественное значение $u = z^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$z^{2} = - 0.52786404$

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Этап 4.2.7

Решим первое уравнение относительно $z$ .

$z^{2} = - 0.52786404$

Этап 4.2.8

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 0.52786404}$

Этап 4.2.8.2

Упростим $\pm \sqrt{- 0.52786404}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1

Перепишем $- 0.52786404$ в виде $- 1 (0.52786404)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (0.52786404)}$

Этап 4.2.8.2.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (0.52786404)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$

Этап 4.2.8.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$z = \pm i \sqrt{0.52786404}$

Этап 4.2.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = i \sqrt{0.52786404}$

Этап 4.2.8.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - i \sqrt{0.52786404}$

Этап 4.2.8.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}$

Этап 4.2.9

Решим второе уравнение относительно $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Этап 4.2.10

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.10.1

Избавимся от скобок.

$z^{2} = - 9.47213595$

Этап 4.2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 9.47213595}$

Этап 4.2.10.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9.47213595}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.10.3.1

Перепишем $- 9.47213595$ в виде $- 1 (9.47213595)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (9.47213595)}$

Этап 4.2.10.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9.47213595)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$

Этап 4.2.10.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$z = \pm i \sqrt{9.47213595}$

Этап 4.2.10.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.10.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = i \sqrt{9.47213595}$

Этап 4.2.10.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - i \sqrt{9.47213595}$

Этап 4.2.10.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Этап 4.2.11

Решением $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ является $z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$ .

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$ верно.

$z = 0, i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$