Элемент. математика Примеры

$\sqrt{4 z + 1} = 3 + \sqrt{4 z - 2}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 z + 1}}^{2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 z + 1}$ в виде ${(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 z + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 z + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 z + 1)}^{1} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 z - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 z$ .

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{2 (2 z) - 2})}^{2}$

Этап 2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{2 (2 z) + 2 (- 1)})}^{2}$

Этап 2.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 z) + 2 (- 1)$ .

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})}^{2}$

Этап 2.3.1.1.2

Перепишем ${(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})}^{2}$ в виде $(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$ .

$4 z + 1 = (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 z + 1 = 3 (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) + \sqrt{2 (2 z - 1)} (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 z + 1 = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 z + 1 = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} \cdot 3 + \sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} \cdot 3 + \sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \cdot \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ в степень $1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Этап 2.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ в степень $1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1} {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{2}$ в виде $2 (2 z - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ в виде ${(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {({(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 2 (2 z - 1)$

Этап 2.3.1.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 2 (2 z) + 2 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z + 2 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z - 2$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$4 z + 1 = 7 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $3 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ и $3 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ .

$4 z + 1 = 7 + 6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z$

Этап 3

Решим относительно $6 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $7 + 6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z = 4 z + 1$ .

$7 + 6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z = 4 z + 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $6 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z = 4 z + 1 - 7$

Этап 3.2.2

Вычтем $4 z$ из обеих частей уравнения.

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = 4 z + 1 - 7 - 4 z$

Этап 3.2.3

Объединим противоположные члены в $4 z + 1 - 7 - 4 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $4 z$ из $4 z$ .

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = 0 + 1 - 7$

Этап 3.2.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = 1 - 7$

Этап 3.2.4

Вычтем $7$ из $1$ .

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = - 6$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(6 \sqrt{2 (2 z - 1)})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ в виде ${(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(6 {(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(6 {(2 (2 z) + 2 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

${(6 {(4 z + 2 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

${(6 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.3

Применим правило умножения к $6 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$36 {({(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.5

Перемножим экспоненты в ${({(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$36 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$36 {(4 z - 2)}^{1} = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Упростим.

$36 (4 z - 2) = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$36 (4 z) + 36 \cdot - 2 = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Умножим $4$ на $36$ .

$144 z + 36 \cdot - 2 = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.5.2

Умножим $36$ на $- 2$ .

$144 z - 72 = {(- 6)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$144 z - 72 = 36$

Этап 6

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Добавим $72$ к обеим частям уравнения.

$144 z = 36 + 72$

Этап 6.1.2

Добавим $36$ и $72$ .

$144 z = 108$

Этап 6.2

Разделим каждый член $144 z = 108$ на $144$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $144 z = 108$ на $144$ .

$\frac{144 z}{144} = \frac{108}{144}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{144 z}{144} = \frac{108}{144}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{108}{144}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель $108$ и $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$z = \frac{36 (3)}{144}$

Этап 6.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $36$ из $144$ .

$z = \frac{36 \cdot 3}{36 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$z = \frac{36 \cdot 3}{36 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$z = \frac{3}{4}$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{4 z + 1} = 3 + \sqrt{4 z - 2}$ истинным.

$Нет решения$