Элемент. математика Примеры

$\frac{28}{z - 2} = 1 + \frac{30}{z + 2}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$z - 2, 1, z + 2$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $z - 2$ является само значение $z - 2$ .

$(z - 2) = z - 2$

$(z - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $z + 2$ является само значение $z + 2$ .

$(z + 2) = z + 2$

$(z + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $z - 2, z + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(z - 2) (z + 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{28}{z - 2} = 1 + \frac{30}{z + 2}$ умножим на $(z - 2) (z + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{28}{z - 2} = 1 + \frac{30}{z + 2}$ на $(z - 2) (z + 2)$ .

$\frac{28}{z - 2} ((z - 2) (z + 2)) = 1 ((z - 2) (z + 2)) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $z - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{28}{z - 2} ((z - 2) (z + 2)) = 1 ((z - 2) (z + 2)) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$28 (z + 2) = 1 ((z - 2) (z + 2)) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$28 z + 28 \cdot 2 = 1 ((z - 2) (z + 2)) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.2.3

Умножим $28$ на $2$ .

$28 z + 56 = 1 ((z - 2) (z + 2)) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $(z - 2) (z + 2)$ на $1$ .

$28 z + 56 = (z - 2) (z + 2) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(z - 2) (z + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$28 z + 56 = z (z + 2) - 2 (z + 2) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$28 z + 56 = z \cdot z + z \cdot 2 - 2 (z + 2) + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$28 z + 56 = z \cdot z + z \cdot 2 - 2 z - 2 \cdot 2 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.3.1.3

Объединим противоположные члены в $z \cdot z + z \cdot 2 - 2 z - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $z \cdot 2$ и $- 2 z$ .

$28 z + 56 = z \cdot z + 2 z - 2 z - 2 \cdot 2 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $2 z$ из $2 z$ .

$28 z + 56 = z \cdot z + 0 - 2 \cdot 2 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $z \cdot z$ и $0$ .

$28 z + 56 = z \cdot z - 2 \cdot 2 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Умножим $z$ на $z$ .

$28 z + 56 = z^{2} - 2 \cdot 2 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + \frac{30}{z + 2} ((z - 2) (z + 2))$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $z + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $z + 2$ из $(z - 2) (z + 2)$ .

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + \frac{30}{z + 2} ((z + 2) (z - 2))$

Этап 2.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + \frac{30}{z + 2} ((z + 2) (z - 2))$

Этап 2.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + 30 (z - 2)$

Этап 2.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + 30 z + 30 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.7

Умножим $30$ на $- 2$ .

$28 z + 56 = z^{2} - 4 + 30 z - 60$

Этап 2.3.2

Вычтем $60$ из $- 4$ .

$28 z + 56 = z^{2} + 30 z - 64$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $z$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$z^{2} + 30 z - 64 = 28 z + 56$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $z$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $28 z$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} + 30 z - 64 - 28 z = 56$

Этап 3.2.2

Вычтем $28 z$ из $30 z$ .

$z^{2} + 2 z - 64 = 56$

Этап 3.3

Вычтем $56$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} + 2 z - 64 - 56 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $56$ из $- 64$ .

$z^{2} + 2 z - 120 = 0$

Этап 3.5

Разложим $z^{2} + 2 z - 120$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 120$ , а сумма — $2$ .

$- 10, 12$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(z - 10) (z + 12) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z - 10 = 0$

$z + 12 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $z - 10$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $z - 10$ к $0$ .

$z - 10 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$z = 10$

Этап 3.8

Приравняем $z + 12$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $z + 12$ к $0$ .

$z + 12 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$z = - 12$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(z - 10) (z + 12) = 0$ верно.

$z = 10, - 12$