Элемент. математика Примеры

$5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$

Этап 1

Подставим $u = z^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$5 u^{2} + 16 u - 45 = 0$

$u = z^{2}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 45 = - 225$ , а сумма — $b = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 u$ .

$5 u^{2} + 16 (u) - 45 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $16$ как $- 9$ плюс $25$

$5 u^{2} + (- 9 + 25) u - 45 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 u^{2} - 9 u + 25 u - 45 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 u^{2} - 9 u) + 25 u - 45 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (5 u - 9) + 5 (5 u - 9) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 u - 9$ .

$(5 u - 9) (u + 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 u - 9 = 0$

$u + 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $5 u - 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $5 u - 9$ к $0$ .

$5 u - 9 = 0$

Этап 4.2

Решим $5 u - 9 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$5 u = 9$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $5 u = 9$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $5 u = 9$ на $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{9}{5}$

Этап 5

Приравняем $u + 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $u + 5$ к $0$ .

$u + 5 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$u = - 5$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 u - 9) (u + 5) = 0$ верно.

$u = \frac{9}{5}, - 5$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = z^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$z^{2} = \frac{9}{5}$

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $z$ .

$z^{2} = \frac{9}{5}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{9}{5}}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{9}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{9}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$

Этап 9.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Этап 9.2.3

Умножим $\frac{3}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 9.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 9.2.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 9.2.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 9.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 9.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 9.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 9.2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Этап 11

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$z^{2} = - 5$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 11.3

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 11.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$z = \pm i \sqrt{5}$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = i \sqrt{5}$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - i \sqrt{5}$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 12

Решением $5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$ является $z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$ .

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$