Элемент. математика Примеры

$y = \frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$ .

$\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$

Этап 2

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}}) = 4$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y \cdot \sqrt{4^{2} - z^{2}} = 4$

Этап 2.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = z$ .

$y \sqrt{(4 + z) (4 - z)} = 4$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(y \sqrt{(4 + z) (4 - z)})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(4 + z) (4 - z)}$ в виде ${((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Развернем $(4 + z) (4 - z)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(y {(4 (4 - z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

${(y {(16 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

${(y {(16 - 4 z + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.2.1.3

Перенесем $4$ влево от $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 \cdot z + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z \cdot z)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.2.1.5

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - (z \cdot z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.2.1.5.2

Умножим $z$ на $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.2.2

Добавим $- 4 z$ и $4 z$ .

${(y {(16 + 0 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.2.3

Добавим $16$ и $0$ .

${(y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.3

Применим правило умножения к $y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} {({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{1} = 4^{2}$

Этап 4.2.1.5

Упростим.

$y^{2} (16 - z^{2}) = 4^{2}$

Этап 4.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} \cdot 16 + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Этап 4.2.1.7

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Перенесем $16$ влево от $y^{2}$ .

$16 \cdot y^{2} + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Этап 4.2.1.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 4^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 16$

Этап 5

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $16 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ на $- y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ на $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} z^{2}}{- y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $z^{2}$ на $1$ .

$z^{2} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16}{- 1}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 16}{- 1}$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - 1 \cdot - 16$

Этап 5.2.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot - 16$ в виде $- - 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - - 16$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + 16$

Этап 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$

Этап 5.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $16$ из $- \frac{16}{y^{2}} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $16$ из $- \frac{16}{y^{2}}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1)}$

Этап 5.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1^{2})}$

Этап 5.4.2.2

Перепишем $\frac{1}{y^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{y})}^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- {(\frac{1}{y})}^{2} + 1^{2})}$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $- {(\frac{1}{y})}^{2}$ и $1^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1^{2} - {(\frac{1}{y})}^{2})}$

Этап 5.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1 + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Этап 5.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$z = \pm \sqrt{16 (\frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Этап 5.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (1 - \frac{1}{y})}$

Этап 5.4.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Этап 5.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} \frac{y - 1}{y}}$

Этап 5.4.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.8.1

Объединим $16$ и $\frac{y + 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1)}{y} \cdot \frac{y - 1}{y}}$

Этап 5.4.8.2

Умножим $\frac{16 (y + 1)}{y}$ на $\frac{y - 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y \cdot y}}$

Этап 5.4.8.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y}}$

Этап 5.4.8.4

Возведем $y$ в степень $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y^{1}}}$

Этап 5.4.8.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1 + 1}}}$

Этап 5.4.8.6

Добавим $1$ и $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}}$

Этап 5.4.9

Перепишем $\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}$ в виде ${(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.9.1

Вынесем полную степень ${(2^{2})}^{2}$ из $16 (y + 1) (y - 1)$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2}}}$

Этап 5.4.9.2

Вынесем полную степень $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.4.9.3

Перегруппируем дробь $\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$z = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}$

Этап 5.4.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$z = \pm \frac{2^{2}}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 5.4.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$z = \pm \frac{4}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 5.4.12

Объединим $\frac{4}{y}$ и $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ .

$z = \pm \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Этап 5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Этап 5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Этап 5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$