Элемент. математика Примеры

$9 z^{2} - 12 z y + 4 y^{2} = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 9$ , $b = - 12 y$ и $c = 4 y^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $z$ .

$\frac{12 y \pm \sqrt{{(- 12 y)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (4 y^{2}))}}{2 \cdot 9}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $4 \cdot 9 \cdot 4 y^{2}$ в виде ${(2 \cdot 3 \cdot 2 y)}^{2}$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{{(- 12 y)}^{2} - {(2 \cdot 3 \cdot (2 y))}^{2}}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = - 12 y$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 2 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(- 12 y + 2 \cdot 3 \cdot (2 y)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 12 y + 2 \cdot 3 \cdot 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 12 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(2 y (- 6) + 2 \cdot 3 \cdot (2 y)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем множитель $2 y$ из $2 \cdot 3 \cdot 2 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(2 y (- 6) + 2 y (3 \cdot 2)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (- 6) + 2 y (3 \cdot 2)$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 3 \cdot 2) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (6 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.3.3.2

Умножим $6$ на $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (12 y))}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.3.3.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - 12 y)}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.4

Добавим $- 6$ и $6$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 12 y - 12 y))}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.5

Вычтем $12 y$ из $- 12 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y \cdot 0 \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Умножим $0$ на $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 y \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.6.2

Умножим $0$ на $y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.6.3

Умножим $0$ на $- 24$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 y}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.6.4

Умножим $0$ на $y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$z = \frac{12 y \pm 0}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.9

$12 y$ plus or minus $0$ is $12 y$ .

$z = \frac{12 y}{2 \cdot 9}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$z = \frac{12 y}{18}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $12$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $6$ из $12 y$ .

$z = \frac{6 (2 y)}{18}$

Этап 3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$z = \frac{6 (2 y)}{6 (3)}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$z = \frac{6 (2 y)}{6 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$z = \frac{2 y}{3}$

Этап 4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

Двойные корни $z = \frac{2 y}{3}$