Элемент. математика Примеры

$\frac{a^{2} + 51 a}{a^{2} + 5 a - 14} - \frac{a - 7}{a - 2} = \frac{a + 1}{a + 7}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} + 51 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$\frac{a \cdot a + 51 a}{a^{2} + 5 a - 14} - \frac{a - 7}{a - 2} = \frac{a + 1}{a + 7}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $a$ из $51 a$ .

$\frac{a \cdot a + a \cdot 51}{a^{2} + 5 a - 14} - \frac{a - 7}{a - 2} = \frac{a + 1}{a + 7}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $a$ из $a \cdot a + a \cdot 51$ .

$\frac{a (a + 51)}{a^{2} + 5 a - 14} - \frac{a - 7}{a - 2} = \frac{a + 1}{a + 7}$

Этап 1.2

Разложим $a^{2} + 5 a - 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 14$ , а сумма — $5$ .

$- 2, 7$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{a (a + 51)}{(a - 2) (a + 7)} - \frac{a - 7}{a - 2} = \frac{a + 1}{a + 7}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(a - 2) (a + 7), a - 2, a + 7$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $a - 2$ является само значение $a - 2$ .

$(a - 2) = a - 2$

$(a - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $a + 7$ является само значение $a + 7$ .

$(a + 7) = a + 7$

$(a + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $a - 2$ является само значение $a - 2$ .

$(a - 2) = a - 2$

$(a - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $a + 7$ является само значение $a + 7$ .

$(a + 7) = a + 7$

$(a + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $a - 2, a + 7, a - 2, a + 7$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(a - 2) (a + 7)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{a (a + 51)}{(a - 2) (a + 7)} - \frac{a - 7}{a - 2} = \frac{a + 1}{a + 7}$ умножим на $(a - 2) (a + 7)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{a (a + 51)}{(a - 2) (a + 7)} - \frac{a - 7}{a - 2} = \frac{a + 1}{a + 7}$ на $(a - 2) (a + 7)$ .

$\frac{a (a + 51)}{(a - 2) (a + 7)} ((a - 2) (a + 7)) - \frac{a - 7}{a - 2} ((a - 2) (a + 7)) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(a - 2) (a + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a (a + 51)}{(a - 2) (a + 7)} ((a - 2) (a + 7)) - \frac{a - 7}{a - 2} ((a - 2) (a + 7)) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$a (a + 51) - \frac{a - 7}{a - 2} ((a - 2) (a + 7)) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a \cdot 51 - \frac{a - 7}{a - 2} ((a - 2) (a + 7)) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} + a \cdot 51 - \frac{a - 7}{a - 2} ((a - 2) (a + 7)) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $51$ влево от $a$ .

$a^{2} + 51 \cdot a - \frac{a - 7}{a - 2} ((a - 2) (a + 7)) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $a - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{a - 7}{a - 2}$ в числитель.

$a^{2} + 51 a + \frac{- (a - 7)}{a - 2} ((a - 2) (a + 7)) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$a^{2} + 51 a + \frac{- (a - 7)}{a - 2} ((a - 2) (a + 7)) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$a^{2} + 51 a - (a - 7) (a + 7) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} + 51 a + (- a - - 7) (a + 7) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$a^{2} + 51 a + (- a + 7) (a + 7) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.8

Развернем $(- a + 7) (a + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} + 51 a - a (a + 7) + 7 (a + 7) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} + 51 a - a \cdot a - a \cdot 7 + 7 (a + 7) = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} + 51 a - a \cdot a - a \cdot 7 + 7 a + 7 \cdot 7 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1.1

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1.1.1

Перенесем $a$ .

$a^{2} + 51 a - (a \cdot a) - a \cdot 7 + 7 a + 7 \cdot 7 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.9.1.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} + 51 a - a^{2} - a \cdot 7 + 7 a + 7 \cdot 7 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.9.1.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$a^{2} + 51 a - a^{2} - 7 a + 7 a + 7 \cdot 7 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.9.1.3

Умножим $7$ на $7$ .

$a^{2} + 51 a - a^{2} - 7 a + 7 a + 49 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.9.2

Добавим $- 7 a$ и $7 a$ .

$a^{2} + 51 a - a^{2} + 0 + 49 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.1.9.3

Добавим $- a^{2}$ и $0$ .

$a^{2} + 51 a - a^{2} + 49 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $a^{2} + 51 a - a^{2} + 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$51 a + 0 + 49 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $51 a$ и $0$ .

$51 a + 49 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a - 2) (a + 7))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $a + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $a + 7$ из $(a - 2) (a + 7)$ .

$51 a + 49 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a + 7) (a - 2))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$51 a + 49 = \frac{a + 1}{a + 7} ((a + 7) (a - 2))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$51 a + 49 = (a + 1) (a - 2)$

Этап 3.3.2

Развернем $(a + 1) (a - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$51 a + 49 = a (a - 2) + 1 (a - 2)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$51 a + 49 = a \cdot a + a \cdot - 2 + 1 (a - 2)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$51 a + 49 = a \cdot a + a \cdot - 2 + 1 a + 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$51 a + 49 = a^{2} + a \cdot - 2 + 1 a + 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $a$ .

$51 a + 49 = a^{2} - 2 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $a$ на $1$ .

$51 a + 49 = a^{2} - 2 a + a + 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$51 a + 49 = a^{2} - 2 a + a - 2$

Этап 3.3.3.2

Добавим $- 2 a$ и $a$ .

$51 a + 49 = a^{2} - a - 2$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $a$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$a^{2} - a - 2 = 51 a + 49$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $51 a$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} - a - 2 - 51 a = 49$

Этап 4.2.2

Вычтем $51 a$ из $- a$ .

$a^{2} - 52 a - 2 = 49$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $49$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} - 52 a - 2 - 49 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $49$ из $- 2$ .

$a^{2} - 52 a - 51 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 52$ и $c = - 51$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{52 \pm \sqrt{{(- 52)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 51)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 52$ в степень $2$ .

$a = \frac{52 \pm \sqrt{2704 - 4 \cdot 1 \cdot - 51}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 51$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{52 \pm \sqrt{2704 - 4 \cdot - 51}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 51$ .

$a = \frac{52 \pm \sqrt{2704 + 204}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.3

Добавим $2704$ и $204$ .

$a = \frac{52 \pm \sqrt{2908}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $2908$ в виде $2^{2} \cdot 727$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $2908$ .

$a = \frac{52 \pm \sqrt{4 (727)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$a = \frac{52 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 727}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{52 \pm 2 \sqrt{727}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{52 \pm 2 \sqrt{727}}{2}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{52 \pm 2 \sqrt{727}}{2}$ .

$a = 26 \pm \sqrt{727}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = 26 + \sqrt{727}, 26 - \sqrt{727}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$a = 26 + \sqrt{727}, 26 - \sqrt{727}$

Десятичная форма:

$a = 52.96293752 \dots, - 0.96293752 \dots$