Элемент. математика Примеры

$a^{2} + y^{2} + 2 a + 2 y - 7 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = a^{2} + 2 a - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (a^{2} + 2 a - 7))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (a^{2} + 2 a - 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (a^{2} + 2 a - 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 a^{2} - 4 (2 a) - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 a^{2} - 8 a - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 a^{2} - 8 a + 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5

Добавим $4$ и $28$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 a^{2} - 8 a + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6

Перепишем $- 4 a^{2} - 8 a + 32$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 a^{2} - 8 a + 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 a^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2}) - 8 a + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8 a$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2}) + 4 (- 2 a) + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2}) + 4 (- 2 a) + 4 (8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- a^{2}) + 4 (- 2 a)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2} - 2 a) + 4 (8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- a^{2} - 2 a) + 4 (8)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2} - 2 a + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 a$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2} - 2 a + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.1.2

Запишем $- 2$ как $2$ плюс $- 4$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2} + (2 - 4) a + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2} + 2 a - 4 a + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- a^{2} + 2 a) - 4 a + 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (a (- a + 2) + 4 (- a + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- a + 2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- a + 2) (a + 4))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a + 2) (a + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7

Перепишем $4 (- a + 2) (a + 4)$ в виде $2^{2} ((- a + 2) (a + 2^{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- a + 2) (a + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- a + 2) (a + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- a + 2) (a + 2^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- a + 2) (a + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}}{2}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}$

Этап 4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 1 + \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}$

$y = - 1 - \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}$