Элемент. математика Примеры

$\frac{4}{a + 1} - \frac{a - 1}{2 a - 1} = \frac{1}{1}$

Этап 1

Разделим $1$ на $1$ .

$\frac{4}{a + 1} - \frac{a - 1}{2 a - 1} = 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a + 1, 2 a - 1, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $a + 1$ является само значение $a + 1$ .

$(a + 1) = a + 1$

$(a + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $2 a - 1$ является само значение $2 a - 1$ .

$(2 a - 1) = 2 a - 1$

$(2 a - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $a + 1, 2 a - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(a + 1) (2 a - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{4}{a + 1} - \frac{a - 1}{2 a - 1} = 1$ умножим на $(a + 1) (2 a - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{4}{a + 1} - \frac{a - 1}{2 a - 1} = 1$ на $(a + 1) (2 a - 1)$ .

$\frac{4}{a + 1} ((a + 1) (2 a - 1)) - \frac{a - 1}{2 a - 1} ((a + 1) (2 a - 1)) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $a + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{a + 1} ((a + 1) (2 a - 1)) - \frac{a - 1}{2 a - 1} ((a + 1) (2 a - 1)) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 (2 a - 1) - \frac{a - 1}{2 a - 1} ((a + 1) (2 a - 1)) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 a) + 4 \cdot - 1 - \frac{a - 1}{2 a - 1} ((a + 1) (2 a - 1)) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 a + 4 \cdot - 1 - \frac{a - 1}{2 a - 1} ((a + 1) (2 a - 1)) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$8 a - 4 - \frac{a - 1}{2 a - 1} ((a + 1) (2 a - 1)) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $2 a - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{a - 1}{2 a - 1}$ в числитель.

$8 a - 4 + \frac{- (a - 1)}{2 a - 1} ((a + 1) (2 a - 1)) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $2 a - 1$ из $(a + 1) (2 a - 1)$ .

$8 a - 4 + \frac{- (a - 1)}{2 a - 1} ((2 a - 1) (a + 1)) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$8 a - 4 + \frac{- (a - 1)}{2 a - 1} ((2 a - 1) (a + 1)) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$8 a - 4 - (a - 1) (a + 1) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$8 a - 4 + (- a - - 1) (a + 1) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 a - 4 + (- a + 1) (a + 1) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.8

Развернем $(- a + 1) (a + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 a - 4 - a (a + 1) + 1 (a + 1) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 a - 4 - a \cdot a - a \cdot 1 + 1 (a + 1) = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 a - 4 - a \cdot a - a \cdot 1 + 1 a + 1 \cdot 1 = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1.1

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1.1.1

Перенесем $a$ .

$8 a - 4 - (a \cdot a) - a \cdot 1 + 1 a + 1 \cdot 1 = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.9.1.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$8 a - 4 - a^{2} - a \cdot 1 + 1 a + 1 \cdot 1 = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.9.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$8 a - 4 - a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot 1 = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.9.1.3

Умножим $a$ на $1$ .

$8 a - 4 - a^{2} - a + a + 1 \cdot 1 = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.9.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$8 a - 4 - a^{2} - a + a + 1 = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.9.2

Добавим $- a$ и $a$ .

$8 a - 4 - a^{2} + 0 + 1 = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.1.9.3

Добавим $- a^{2}$ и $0$ .

$8 a - 4 - a^{2} + 1 = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.2.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$8 a - a^{2} - 3 = 1 ((a + 1) (2 a - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $(a + 1) (2 a - 1)$ на $1$ .

$8 a - a^{2} - 3 = (a + 1) (2 a - 1)$

Этап 3.3.2

Развернем $(a + 1) (2 a - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 a - a^{2} - 3 = a (2 a - 1) + 1 (2 a - 1)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 a - a^{2} - 3 = a (2 a) + a \cdot - 1 + 1 (2 a - 1)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 a - a^{2} - 3 = a (2 a) + a \cdot - 1 + 1 (2 a) + 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 a - a^{2} - 3 = 2 a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (2 a) + 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Перенесем $a$ .

$8 a - a^{2} - 3 = 2 (a \cdot a) + a \cdot - 1 + 1 (2 a) + 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.3.1.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$8 a - a^{2} - 3 = 2 a^{2} + a \cdot - 1 + 1 (2 a) + 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.3.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $a$ .

$8 a - a^{2} - 3 = 2 a^{2} - 1 \cdot a + 1 (2 a) + 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.3.1.4

Перепишем $- 1 a$ в виде $- a$ .

$8 a - a^{2} - 3 = 2 a^{2} - a + 1 (2 a) + 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.3.1.5

Умножим $2 a$ на $1$ .

$8 a - a^{2} - 3 = 2 a^{2} - a + 2 a + 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$8 a - a^{2} - 3 = 2 a^{2} - a + 2 a - 1$

Этап 3.3.3.2

Добавим $- a$ и $2 a$ .

$8 a - a^{2} - 3 = 2 a^{2} + a - 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $2 a^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 a - a^{2} - 3 - 2 a^{2} = a - 1$

Этап 4.1.2

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения.

$8 a - a^{2} - 3 - 2 a^{2} - a = - 1$

Этап 4.1.3

Вычтем $a$ из $8 a$ .

$- a^{2} - 3 - 2 a^{2} + 7 a = - 1$

Этап 4.1.4

Вычтем $2 a^{2}$ из $- a^{2}$ .

$- 3 a^{2} - 3 + 7 a = - 1$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 3 a^{2} - 3 + 7 a + 1 = 0$

Этап 4.3

Добавим $- 3$ и $1$ .

$- 3 a^{2} + 7 a - 2 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 a^{2} + 7 a - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 a^{2}$ .

$- (3 a^{2}) + 7 a - 2 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $7 a$ .

$- (3 a^{2}) - (- 7 a) - 2 = 0$

Этап 4.4.1.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$- (3 a^{2}) - (- 7 a) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 a^{2}) - (- 7 a)$ .

$- (3 a^{2} - 7 a) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 a^{2} - 7 a) - 1 (2)$ .

$- (3 a^{2} - 7 a + 2) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 a$ .

$- (3 a^{2} - 7 a + 2) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.2

Запишем $- 7$ как $- 1$ плюс $- 6$

$- (3 a^{2} + (- 1 - 6) a + 2) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 a^{2} - 1 a - 6 a + 2) = 0$

Этап 4.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 a^{2} - 1 a) - 6 a + 2) = 0$

Этап 4.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (a (3 a - 1) - 2 (3 a - 1)) = 0$

Этап 4.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 a - 1$ .

$- ((3 a - 1) (a - 2)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 a - 1) (a - 2) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 a - 1 = 0$

$a - 2 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $3 a - 1$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $3 a - 1$ к $0$ .

$3 a - 1 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $3 a - 1 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 a = 1$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $3 a = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 a = 1$ на $3$ .

$\frac{3 a}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 a}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{1}{3}$

Этап 4.7

Приравняем $a - 2$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $a - 2$ к $0$ .

$a - 2 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$a = 2$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 a - 1) (a - 2) = 0$ верно.

$a = \frac{1}{3}, 2$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$a = \frac{1}{3}, 2$

Десятичная форма:

$a = 0.\overline{3}, 2$