Элемент. математика Примеры

$3^{1 - a} - 3^{a} = 2$

Этап 1

Перепишем $3^{1 - a}$ в виде $3^{1} \cdot 3^{- a}$ .

$3 \cdot 3^{- a} - 3^{a} = 2$

Этап 2

Перепишем $3^{- a}$ в виде степенного выражения.

$3 \cdot {(3^{a})}^{- 1} - 3^{a} = 2$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $3^{a}$ .

$3 \cdot u^{- 1} - u = 2$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \cdot \frac{1}{u} - u = 2$

Этап 4.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} - u = 2$

Этап 5

Изменим порядок $\frac{3}{u}$ и $- u$ .

$- u + \frac{3}{u} = 2$

Этап 6

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 6.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 6.2

Каждый член в $- u + \frac{3}{u} = 2$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим каждый член $- u + \frac{3}{u} = 2$ на $u$ .

$- u \cdot u + \frac{3}{u} u = 2 u$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Перенесем $u$ .

$- (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 2 u$

Этап 6.2.2.1.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

Этап 6.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- u^{2} + 3 = 2 u$

Этап 6.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $2 u$ из обеих частей уравнения.

$- u^{2} + 3 - 2 u = 0$

Этап 6.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + 3 - 2 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перенесем $3$ .

$- u^{2} - 2 u + 3 = 0$

Этап 6.3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) - 2 u + 3 = 0$

Этап 6.3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 u$ .

$- (u^{2}) - (2 u) + 3 = 0$

Этап 6.3.2.1.4

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 6.3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2}) - (2 u)$ .

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 6.3.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} + 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} + 2 u - 3) = 0$

Этап 6.3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Разложим $u^{2} + 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 6.3.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((u - 1) (u + 3)) = 0$

Этап 6.3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (u - 1) (u + 3) = 0$

Этап 6.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Этап 6.3.4

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 6.3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 6.3.5

Приравняем $u + 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Приравняем $u + 3$ к $0$ .

$u + 3 = 0$

Этап 6.3.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$u = - 3$

Этап 6.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (u - 1) (u + 3) = 0$ верно.

$u = 1, - 3$

Этап 7

Подставим $1$ вместо $u$ в $u = 3^{a}$ .

$1 = 3^{a}$

Этап 8

Решим $1 = 3^{a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $3^{a} = 1$ .

$3^{a} = 1$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{a}) = \ln (1)$

Этап 8.3

Развернем $\ln (3^{a})$ , вынося $a$ из логарифма.

$a \ln (3) = \ln (1)$

Этап 8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$a \ln (3) = 0$

Этап 8.5

Разделим каждый член $a \ln (3) = 0$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Разделим каждый член $a \ln (3) = 0$ на $\ln (3)$ .

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 8.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 8.5.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 8.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Разделим $0$ на $\ln (3)$ .

$a = 0$

Этап 9

Подставим $- 3$ вместо $u$ в $u = 3^{a}$ .

$- 3 = 3^{a}$

Этап 10

Решим $- 3 = 3^{a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $3^{a} = - 3$ .

$3^{a} = - 3$

Этап 10.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{a}) = \ln (- 3)$

Этап 10.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 3)$ не определено.

Неопределенные

Этап 10.4

Нет решения для $3^{a} = - 3$

Нет решения

Этап 11

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$a = 0$