Элемент. математика Примеры

$\frac{2}{a - 3} + \frac{5}{a + 4} = 1$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a - 3, a + 4, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $a - 3$ является само значение $a - 3$ .

$(a - 3) = a - 3$

$(a - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $a + 4$ является само значение $a + 4$ .

$(a + 4) = a + 4$

$(a + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $a - 3, a + 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(a - 3) (a + 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2}{a - 3} + \frac{5}{a + 4} = 1$ умножим на $(a - 3) (a + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2}{a - 3} + \frac{5}{a + 4} = 1$ на $(a - 3) (a + 4)$ .

$\frac{2}{a - 3} ((a - 3) (a + 4)) + \frac{5}{a + 4} ((a - 3) (a + 4)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $a - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{a - 3} ((a - 3) (a + 4)) + \frac{5}{a + 4} ((a - 3) (a + 4)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 (a + 4) + \frac{5}{a + 4} ((a - 3) (a + 4)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 a + 2 \cdot 4 + \frac{5}{a + 4} ((a - 3) (a + 4)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$2 a + 8 + \frac{5}{a + 4} ((a - 3) (a + 4)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $a + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем множитель $a + 4$ из $(a - 3) (a + 4)$ .

$2 a + 8 + \frac{5}{a + 4} ((a + 4) (a - 3)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 a + 8 + \frac{5}{a + 4} ((a + 4) (a - 3)) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$2 a + 8 + 5 (a - 3) = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 a + 8 + 5 a + 5 \cdot - 3 = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $5$ на $- 3$ .

$2 a + 8 + 5 a - 15 = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $2 a$ и $5 a$ .

$7 a + 8 - 15 = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $15$ из $8$ .

$7 a - 7 = 1 ((a - 3) (a + 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $(a - 3) (a + 4)$ на $1$ .

$7 a - 7 = (a - 3) (a + 4)$

Этап 2.3.2

Развернем $(a - 3) (a + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 a - 7 = a (a + 4) - 3 (a + 4)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 a - 7 = a \cdot a + a \cdot 4 - 3 (a + 4)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 a - 7 = a \cdot a + a \cdot 4 - 3 a - 3 \cdot 4$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$7 a - 7 = a^{2} + a \cdot 4 - 3 a - 3 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $a$ .

$7 a - 7 = a^{2} + 4 \cdot a - 3 a - 3 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$7 a - 7 = a^{2} + 4 a - 3 a - 12$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $3 a$ из $4 a$ .

$7 a - 7 = a^{2} + a - 12$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $a$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$a^{2} + a - 12 = 7 a - 7$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $7 a$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} + a - 12 - 7 a = - 7$

Этап 3.2.2

Вычтем $7 a$ из $a$ .

$a^{2} - 6 a - 12 = - 7$

Этап 3.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$a^{2} - 6 a - 12 + 7 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $- 12$ и $7$ .

$a^{2} - 6 a - 5 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Добавим $36$ и $20$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$a = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$a = 3 \pm \sqrt{14}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = 3 + \sqrt{14}, 3 - \sqrt{14}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$a = 3 + \sqrt{14}, 3 - \sqrt{14}$

Десятичная форма:

$a = 6.74165738 \dots, - 0.74165738 \dots$