Элемент. математика Примеры

$\frac{1}{k + 2} - \frac{4}{k - 2} = \frac{k^{2}}{4 - k^{2}}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{k + 2} - \frac{4}{k - 2} = \frac{k^{2}}{2^{2} - k^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = k$ .

$\frac{1}{k + 2} - \frac{4}{k - 2} = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$k + 2, k - 2, (2 + k) (2 - k)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $k + 2$ является само значение $k + 2$ .

$(k + 2) = k + 2$

$(k + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $k - 2$ является само значение $k - 2$ .

$(k - 2) = k - 2$

$(k - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $2 + k$ является само значение $2 + k$ .

$(2 + k) = 2 + k$

$(2 + k)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $2 - k$ является само значение $2 - k$ .

$(2 - k) = 2 - k$

$(2 - k)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $k + 2, k - 2, 2 + k, 2 - k$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(k + 2) (k - 2) (2 - k)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{k + 2} - \frac{4}{k - 2} = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)}$ умножим на $(k + 2) (k - 2) (2 - k)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{k + 2} - \frac{4}{k - 2} = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)}$ на $(k + 2) (k - 2) (2 - k)$ .

$\frac{1}{k + 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $k + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $k + 2$ из $(k + 2) (k - 2) (2 - k)$ .

$\frac{1}{k + 2} ((k + 2) ((k - 2) (2 - k))) - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{k + 2} ((k + 2) ((k - 2) (2 - k))) - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$(k - 2) (2 - k) - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $k$ .

$(- 1 (- k) - 2) (2 - k) - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$(- 1 (- k) - 1 (2)) (2 - k) - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- k) - 1 (2)$ .

$- 1 (- k + 2) (2 - k) - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.5

Изменим порядок членов.

$- 1 (- k + 2) (- k + 2) - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.6

Возведем $- k + 2$ в степень $1$ .

$- 1 ({(- k + 2)}^{1} (- k + 2)) - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.7

Возведем $- k + 2$ в степень $1$ .

$- 1 ({(- k + 2)}^{1} {(- k + 2)}^{1}) - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 {(- k + 2)}^{1 + 1} - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 {(- k + 2)}^{2} - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.10

Перепишем $- 1 {(- k + 2)}^{2}$ в виде $- {(- k + 2)}^{2}$ .

$- {(- k + 2)}^{2} - \frac{4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.11

Сократим общий множитель $k - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{k - 2}$ в числитель.

$- {(- k + 2)}^{2} + \frac{- 4}{k - 2} ((k + 2) (k - 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.11.2

Вынесем множитель $k - 2$ из $(k + 2) (k - 2) (2 - k)$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + \frac{- 4}{k - 2} ((k - 2) ((k + 2) (2 - k))) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.11.3

Сократим общий множитель.

$- {(- k + 2)}^{2} + \frac{- 4}{k - 2} ((k - 2) ((k + 2) (2 - k))) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.11.4

Перепишем это выражение.

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 ((k + 2) (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.12

Развернем $(k + 2) (2 - k)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (k (2 - k) + 2 (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (k \cdot 2 + k (- k) + 2 (2 - k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (k \cdot 2 + k (- k) + 2 \cdot 2 + 2 (- k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.13.1.1

Перенесем $2$ влево от $k$ .

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (2 \cdot k + k (- k) + 2 \cdot 2 + 2 (- k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.13.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (2 k - k \cdot k + 2 \cdot 2 + 2 (- k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.13.1.3

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.13.1.3.1

Перенесем $k$ .

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (2 k - (k \cdot k) + 2 \cdot 2 + 2 (- k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.13.1.3.2

Умножим $k$ на $k$ .

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (2 k - k^{2} + 2 \cdot 2 + 2 (- k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.13.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (2 k - k^{2} + 4 + 2 (- k)) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.13.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (2 k - k^{2} + 4 - 2 k) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.13.2

Вычтем $2 k$ из $2 k$ .

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (- k^{2} + 4 + 0) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.13.3

Добавим $- k^{2}$ и $0$ .

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (- k^{2} + 4) = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$- {(- k + 2)}^{2} - 4 (- k^{2}) - 4 \cdot 4 = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.15

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 4 \cdot 4 = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.2.1.16

Умножим $- 4$ на $4$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{(2 + k) (2 - k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $2 - k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2 - k$ из $(2 + k) (2 - k)$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{(2 - k) (2 + k)} ((k + 2) (k - 2) (2 - k))$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $2 - k$ из $(k + 2) (k - 2) (2 - k)$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{(2 - k) (2 + k)} ((2 - k) ((k + 2) (k - 2)))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{(2 - k) (2 + k)} ((2 - k) ((k + 2) (k - 2)))$

Этап 3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{2 + k} ((k + 2) (k - 2))$

Этап 3.3.2

Развернем $(k + 2) (k - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{2 + k} (k (k - 2) + 2 (k - 2))$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{2 + k} (k \cdot k + k \cdot - 2 + 2 (k - 2))$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{2 + k} (k \cdot k + k \cdot - 2 + 2 k + 2 \cdot - 2)$

Этап 3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим противоположные члены в $k \cdot k + k \cdot - 2 + 2 k + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $k \cdot - 2$ и $2 k$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{2 + k} (k \cdot k - 2 k + 2 k + 2 \cdot - 2)$

Этап 3.3.3.1.2

Добавим $- 2 k$ и $2 k$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{2 + k} (k \cdot k + 0 + 2 \cdot - 2)$

Этап 3.3.3.1.3

Добавим $k \cdot k$ и $0$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{2 + k} (k \cdot k + 2 \cdot - 2)$

Этап 3.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Умножим $k$ на $k$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{2 + k} (k^{2} + 2 \cdot - 2)$

Этап 3.3.3.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2}}{2 + k} (k^{2} - 4)$

Этап 3.3.3.3

Умножим $\frac{k^{2}}{2 + k}$ на $k^{2} - 4$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2} (k^{2} - 4)}{2 + k}$

Этап 3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2} (k^{2} - 2^{2})}{2 + k}$

Этап 3.3.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = k$ и $b = 2$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2} (k + 2) (k - 2)}{2 + k}$

Этап 3.3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Сократим общий множитель $k + 2$ и $2 + k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1

Изменим порядок членов.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2} (k + 2) (k - 2)}{k + 2}$

Этап 3.3.5.1.2

Сократим общий множитель.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = \frac{k^{2} (k + 2) (k - 2)}{k + 2}$

Этап 3.3.5.1.3

Разделим $k^{2} (k - 2)$ на $1$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = k^{2} (k - 2)$

Этап 3.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = k^{2} k + k^{2} \cdot - 2$

Этап 3.3.6

Умножим $k^{2}$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Умножим $k^{2}$ на $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1

Возведем $k$ в степень $1$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot - 2$

Этап 3.3.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = k^{2 + 1} + k^{2} \cdot - 2$

Этап 3.3.6.2

Добавим $2$ и $1$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = k^{3} + k^{2} \cdot - 2$

Этап 3.3.7

Перенесем $- 2$ влево от $k^{2}$ .

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 = k^{3} - 2 k^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $k$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $k^{3}$ из обеих частей уравнения.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 - k^{3} = - 2 k^{2}$

Этап 4.1.2

Добавим $2 k^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- {(- k + 2)}^{2} + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перепишем ${(- k + 2)}^{2}$ в виде $(- k + 2) (- k + 2)$ .

$- ((- k + 2) (- k + 2)) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.2

Развернем $(- k + 2) (- k + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- k (- k + 2) + 2 (- k + 2)) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- k (- k) - k \cdot 2 + 2 (- k + 2)) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- k (- k) - k \cdot 2 + 2 (- k) + 2 \cdot 2) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- (- 1 \cdot - 1 k \cdot k - k \cdot 2 + 2 (- k) + 2 \cdot 2) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.2

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.2.1

Перенесем $k$ .

$- (- 1 \cdot - 1 (k \cdot k) - k \cdot 2 + 2 (- k) + 2 \cdot 2) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.2.2

Умножим $k$ на $k$ .

$- (- 1 \cdot - 1 k^{2} - k \cdot 2 + 2 (- k) + 2 \cdot 2) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (1 k^{2} - k \cdot 2 + 2 (- k) + 2 \cdot 2) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.4

Умножим $k^{2}$ на $1$ .

$- (k^{2} - k \cdot 2 + 2 (- k) + 2 \cdot 2) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- (k^{2} - 2 k + 2 (- k) + 2 \cdot 2) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- (k^{2} - 2 k - 2 k + 2 \cdot 2) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$- (k^{2} - 2 k - 2 k + 4) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.2

Вычтем $2 k$ из $- 2 k$ .

$- (k^{2} - 4 k + 4) + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- k^{2} - (- 4 k) - 1 \cdot 4 + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- k^{2} + 4 k - 1 \cdot 4 + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- k^{2} + 4 k - 4 + 4 k^{2} - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.4

Добавим $- k^{2}$ и $4 k^{2}$ .

$3 k^{2} + 4 k - 4 - 16 - k^{3} + 2 k^{2} = 0$

Этап 4.1.5

Добавим $3 k^{2}$ и $2 k^{2}$ .

$5 k^{2} + 4 k - 4 - 16 - k^{3} = 0$

Этап 4.1.6

Вычтем $16$ из $- 4$ .

$5 k^{2} + 4 k - 20 - k^{3} = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Изменим порядок членов.

$- k^{3} + 5 k^{2} + 4 k - 20 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(- k^{3} + 5 k^{2}) + 4 k - 20 = 0$

Этап 4.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$k^{2} (- k + 5) - 4 (- k + 5) = 0$

Этап 4.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- k + 5$ .

$(- k + 5) (k^{2} - 4) = 0$

Этап 4.2.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(- k + 5) (k^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 4.2.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

$(- k + 5) ((k + 2) (k - 2)) = 0$

Этап 4.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(- k + 5) (k + 2) (k - 2) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- k + 5 = 0$

$k + 2 = 0$

$k - 2 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $- k + 5$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $- k + 5$ к $0$ .

$- k + 5 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $- k + 5 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- k = - 5$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $- k = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $- k = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- k}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{k}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.2.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$k = 5$

Этап 4.5

Приравняем $k + 2$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $k + 2$ к $0$ .

$k + 2 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$k = - 2$

Этап 4.6

Приравняем $k - 2$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $k - 2$ к $0$ .

$k - 2 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$k = 2$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- k + 5) (k + 2) (k - 2) = 0$ верно.

$k = 5, - 2, 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{1}{k + 2} - \frac{4}{k - 2} = \frac{k^{2}}{4 - k^{2}}$ истинным.

$k = 5$