Элемент. математика Примеры

$\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Этап 1

Упростим $\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $k^{2} + 3 k - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 4^{2}}{k^{2} - 1} = a$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = k$ и $b = 4$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1} = a$

Этап 1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1^{2}} = a$

Этап 1.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = k$ и $b = 1$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k + 1) (k - 1)} = a$

Этап 1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель $k - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $k - 1$ из $(k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Этап 1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Этап 1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k + 1} = a$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $k - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $k - 4$ из $(k + 4) (k - 4)$ .

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$(k + 4) \cdot \frac{k + 4}{k + 1} = a$

$\frac{(k + 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $k + 4$ в степень $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} (k + 4)}{k + 1} = a$

Этап 1.5.2

Возведем $k + 4$ в степень $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} {(k + 4)}^{1}}{k + 1} = a$

Этап 1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(k + 4)}^{1 + 1}}{k + 1} = a$

Этап 1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$k + 1, 1$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$k + 1, 1$

Этап 2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$k + 1$

Этап 3

Каждый член в $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ умножим на $k + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ на $k + 1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $k + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

${(k + 4)}^{2} = a (k + 1)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(k + 4)}^{2} = a k + a \cdot 1$

Этап 3.3.2

Умножим $a$ на $1$ .

${(k + 4)}^{2} = a k + a$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $k$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $a k$ из обеих частей уравнения.

${(k + 4)}^{2} - a k = a$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем ${(k + 4)}^{2}$ в виде $(k + 4) (k + 4)$ .

$(k + 4) (k + 4) - a k = a$

Этап 4.1.2.2

Развернем $(k + 4) (k + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k (k + 4) + 4 (k + 4) - a k = a$

Этап 4.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 (k + 4) - a k = a$

Этап 4.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Этап 4.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$k^{2} + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Этап 4.1.2.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $k$ .

$k^{2} + 4 \cdot k + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Этап 4.1.2.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$k^{2} + 4 k + 4 k + 16 - a k = a$

Этап 4.1.2.3.2

Добавим $4 k$ и $4 k$ .

$k^{2} + 8 k + 16 - a k = a$

Этап 4.2

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения.

$k^{2} + 8 k + 16 - a k - a = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 8 - a$ и $c = 16 - a$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $k$ .

$\frac{- (8 - a) \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (16 - a))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{- 1 \cdot 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Умножим $- - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + 1 a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3.2

Умножим $a$ на $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем ${(8 - a)}^{2}$ в виде $(8 - a) (8 - a)$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{(8 - a) (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5

Развернем $(8 - a) (8 - a)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 (8 - a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.6.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6.1.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6.1.5

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.6.1.5.1

Перенесем $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6.1.5.2

Умножим $a$ на $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6.1.7

Умножим $a^{2}$ на $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6.2

Вычтем $8 a$ из $- 8 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 16 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.9

Умножим $- 4$ на $16$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.10

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.11

Вычтем $64$ из $64$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{- 16 a + a^{2} + 0 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.12

Добавим $- 16 a$ и $0$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 16 a + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.13

Добавим $- 16 a$ и $4 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.14

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} - 12 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.14.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.14.2

Вынесем множитель $a$ из $- 12 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a + a \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.14.3

Вынесем множитель $a$ из $a \cdot a + a \cdot - 12$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$