Элемент. математика Примеры

$\frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1} = \frac{m - 1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$m + 1, m - 1, m + 1, m - 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $m + 1$ является само значение $m + 1$ .

$(m + 1) = m + 1$

$(m + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $m - 1$ является само значение $m - 1$ .

$(m - 1) = m - 1$

$(m - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $m + 1$ является само значение $m + 1$ .

$(m + 1) = m + 1$

$(m + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

Множителем $m - 1$ является само значение $m - 1$ .

$(m - 1) = m - 1$

$(m - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $m + 1, m - 1, m + 1, m - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(m + 1) (m - 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1} = \frac{m - 1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1}$ умножим на $(m + 1) (m - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1} = \frac{m - 1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1}$ на $(m + 1) (m - 1)$ .

$\frac{1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $m + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$m - 1 - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $m - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{m - 1}$ в числитель.

$m - 1 + \frac{- 1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2.1.2.2

Вынесем множитель $m - 1$ из $(m + 1) (m - 1)$ .

$m - 1 + \frac{- 1}{m - 1} ((m - 1) (m + 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$m - 1 + \frac{- 1}{m - 1} ((m - 1) (m + 1)) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$m - 1 - (m + 1) = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m - 1 - m - 1 \cdot 1 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$m - 1 - m - 1 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим противоположные члены в $m - 1 - m - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вычтем $m$ из $m$ .

$0 - 1 - 1 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2.2.1.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1 - 1 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- 2 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $m + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$- 2 = \frac{m - 1}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$- 2 = (m - 1) (m - 1) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.3.1.2

Возведем $m - 1$ в степень $1$ .

$- 2 = {(m - 1)}^{1} (m - 1) - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.3.1.3

Возведем $m - 1$ в степень $1$ .

$- 2 = {(m - 1)}^{1} {(m - 1)}^{1} - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 = {(m - 1)}^{1 + 1} - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.3.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 = {(m - 1)}^{2} - \frac{1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.3.1.6

Сократим общий множитель $m - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{m - 1}$ в числитель.

$- 2 = {(m - 1)}^{2} + \frac{- 1}{m - 1} ((m + 1) (m - 1))$

Этап 2.3.1.6.2

Вынесем множитель $m - 1$ из $(m + 1) (m - 1)$ .

$- 2 = {(m - 1)}^{2} + \frac{- 1}{m - 1} ((m - 1) (m + 1))$

Этап 2.3.1.6.3

Сократим общий множитель.

$- 2 = {(m - 1)}^{2} + \frac{- 1}{m - 1} ((m - 1) (m + 1))$

Этап 2.3.1.6.4

Перепишем это выражение.

$- 2 = {(m - 1)}^{2} - (m + 1)$

Этап 2.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 = {(m - 1)}^{2} - m - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 = {(m - 1)}^{2} - m - 1$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(m - 1)}^{2} - m - 1 = - 2$ .

${(m - 1)}^{2} - m - 1 = - 2$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

${(m - 1)}^{2} - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3

Упростим ${(m - 1)}^{2} - m - 1 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(m - 1)}^{2}$ в виде $(m - 1) (m - 1)$ .

$(m - 1) (m - 1) - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(m - 1) (m - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m (m - 1) - 1 (m - 1) - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m \cdot m + m \cdot - 1 - 1 (m - 1) - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m \cdot m + m \cdot - 1 - 1 m - 1 \cdot - 1 - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $m$ на $m$ .

$m^{2} + m \cdot - 1 - 1 m - 1 \cdot - 1 - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $m$ .

$m^{2} - 1 \cdot m - 1 m - 1 \cdot - 1 - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перепишем $- 1 m$ в виде $- m$ .

$m^{2} - m - 1 m - 1 \cdot - 1 - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 m$ в виде $- m$ .

$m^{2} - m - m - 1 \cdot - 1 - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m^{2} - m - m + 1 - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $m$ из $- m$ .

$m^{2} - 2 m + 1 - m - 1 + 2 = 0$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $m^{2} - 2 m + 1 - m - 1 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$m^{2} - 2 m - m + 0 + 2 = 0$

Этап 3.3.2.2

Добавим $m^{2} - 2 m - m$ и $0$ .

$m^{2} - 2 m - m + 2 = 0$

Этап 3.3.3

Вычтем $m$ из $- 2 m$ .

$m^{2} - 3 m + 2 = 0$

Этап 3.4

Разложим $m^{2} - 3 m + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(m - 2) (m - 1) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$m - 2 = 0$

$m - 1 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $m - 2$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $m - 2$ к $0$ .

$m - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$m = 2$

Этап 3.7

Приравняем $m - 1$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $m - 1$ к $0$ .

$m - 1 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$m = 1$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(m - 2) (m - 1) = 0$ верно.

$m = 2, 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1} = \frac{m - 1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1}$ истинным.

$m = 2$