Элемент. математика Примеры

$3 \sqrt{10 - k} - k = 0$

Этап 1

Добавим $k$ к обеим частям уравнения.

$3 \sqrt{10 - k} = k$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(3 \sqrt{10 - k})}^{2} = k^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10 - k}$ в виде ${(10 - k)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 {(10 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = k^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(3 {(10 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(10 - k)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {({(10 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = k^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 {({(10 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = k^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(10 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(10 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = k^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 {(10 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = k^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 {(10 - k)}^{1} = k^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$9 (10 - k) = k^{2}$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \cdot 10 + 9 (- k) = k^{2}$

Этап 3.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Умножим $9$ на $10$ .

$90 + 9 (- k) = k^{2}$

Этап 3.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$90 - 9 k = k^{2}$

Этап 4

Решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $k^{2}$ из обеих частей уравнения.

$90 - 9 k - k^{2} = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $90 - 9 k - k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перенесем $90$ .

$- 9 k - k^{2} + 90 = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Изменим порядок $- 9 k$ и $- k^{2}$ .

$- k^{2} - 9 k + 90 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- k^{2}$ .

$- (k^{2}) - 9 k + 90 = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 k$ .

$- (k^{2}) - (9 k) + 90 = 0$

Этап 4.2.1.4

Перепишем $90$ в виде $- 1 (- 90)$ .

$- (k^{2}) - (9 k) - 1 \cdot - 90 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (k^{2}) - (9 k)$ .

$- (k^{2} + 9 k) - 1 \cdot - 90 = 0$

Этап 4.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (k^{2} + 9 k) - 1 (- 90)$ .

$- (k^{2} + 9 k - 90) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим $k^{2} + 9 k - 90$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 90$ , а сумма — $9$ .

$- 6, 15$

Этап 4.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((k - 6) (k + 15)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (k - 6) (k + 15) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$k - 6 = 0$

$k + 15 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $k - 6$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $k - 6$ к $0$ .

$k - 6 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$k = 6$

Этап 4.5

Приравняем $k + 15$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $k + 15$ к $0$ .

$k + 15 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$k = - 15$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (k - 6) (k + 15) = 0$ верно.

$k = 6, - 15$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $3 \sqrt{10 - k} - k = 0$ истинным.

$k = 6$