Элемент. математика Примеры

$128 a^{3} + 686 = 0$

Этап 1

Вычтем $686$ из обеих частей уравнения.

$128 a^{3} = - 686$

Этап 2

Добавим $686$ к обеим частям уравнения.

$128 a^{3} + 686 = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $128 a^{3} + 686$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $128 a^{3}$ .

$2 (64 a^{3}) + 686 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $686$ .

$2 (64 a^{3}) + 2 (343) = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (64 a^{3}) + 2 (343)$ .

$2 (64 a^{3} + 343) = 0$

Этап 3.2

Перепишем $64 a^{3}$ в виде ${(4 a)}^{3}$ .

$2 ({(4 a)}^{3} + 343) = 0$

Этап 3.3

Перепишем $343$ в виде $7^{3}$ .

$2 ({(4 a)}^{3} + 7^{3}) = 0$

Этап 3.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 4 a$ и $b = 7$ .

$2 ((4 a + 7) ({(4 a)}^{2} - 4 a \cdot 7 + 7^{2})) = 0$

Этап 3.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Применим правило умножения к $4 a$ .

$2 ((4 a + 7) (4^{2} a^{2} - 4 a \cdot 7 + 7^{2})) = 0$

Этап 3.5.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 ((4 a + 7) (16 a^{2} - 4 a \cdot 7 + 7^{2})) = 0$

Этап 3.5.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2 ((4 a + 7) (16 a^{2} - 4 a \cdot 7 + 7^{2})) = 0$

Этап 3.5.1.4

Умножим $7$ на $- 4$ .

$2 ((4 a + 7) (16 a^{2} - 28 a + 7^{2})) = 0$

Этап 3.5.1.5

Возведем $7$ в степень $2$ .

$2 ((4 a + 7) (16 a^{2} - 28 a + 49)) = 0$

Этап 3.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (4 a + 7) (16 a^{2} - 28 a + 49) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 a + 7 = 0$

$16 a^{2} - 28 a + 49 = 0$

Этап 5

Приравняем $4 a + 7$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $4 a + 7$ к $0$ .

$4 a + 7 = 0$

Этап 5.2

Решим $4 a + 7 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$4 a = - 7$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $4 a = - 7$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $4 a = - 7$ на $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 7}{4}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 7}{4}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- 7}{4}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{7}{4}$

Этап 6

Приравняем $16 a^{2} - 28 a + 49$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $16 a^{2} - 28 a + 49$ к $0$ .

$16 a^{2} - 28 a + 49 = 0$

Этап 6.2

Решим $16 a^{2} - 28 a + 49 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 16$ , $b = - 28$ и $c = 49$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 49)}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $- 28$ в степень $2$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 16 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 64 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 64$ на $49$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $3136$ из $784$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $- 2352$ в виде $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (2352)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.1.7

Перепишем $2352$ в виде $28^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $784$ из $2352$ .

$a = \frac{28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.1.7.2

Перепишем $784$ в виде $28^{2}$ .

$a = \frac{28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.1.9

Перенесем $28$ влево от $i$ .

$a = \frac{28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $16$ .

$a = \frac{28 \pm 28 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 6.2.3.3

Упростим $\frac{28 \pm 28 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{8}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (4 a + 7) (16 a^{2} - 28 a + 49) = 0$ верно.

$a = - \frac{7}{4}, \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{8}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{8}$