Элемент. математика Примеры

$\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b} = 6$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a - b, a + b, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $a - b$ является само значение $a - b$ .

$(a - b) = a - b$

$(a - b)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $a + b$ является само значение $a + b$ .

$(a + b) = a + b$

$(a + b)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $a - b, a + b$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(a - b) (a + b)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b} = 6$ умножим на $(a - b) (a + b)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b} = 6$ на $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{a + b}{a - b} ((a - b) (a + b)) + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $a - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a + b}{a - b} ((a - b) (a + b)) + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(a + b) (a + b) + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.2

Возведем $a + b$ в степень $1$ .

${(a + b)}^{1} (a + b) + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.3

Возведем $a + b$ в степень $1$ .

${(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(a + b)}^{1 + 1} + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(a + b)}^{2} + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.6

Сократим общий множитель $a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Вынесем множитель $a + b$ из $(a - b) (a + b)$ .

${(a + b)}^{2} + \frac{a - b}{a + b} ((a + b) (a - b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

${(a + b)}^{2} + \frac{a - b}{a + b} ((a + b) (a - b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

${(a + b)}^{2} + (a - b) (a - b) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.7

Возведем $a - b$ в степень $1$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{1} (a - b) = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.8

Возведем $a - b$ в степень $1$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{1} {(a - b)}^{1} = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{1 + 1} = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.2.1.10

Добавим $1$ и $1$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 ((a - b) (a + b))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(a - b) (a + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a (a + b) - b (a + b))$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a \cdot a + a b - b (a + b))$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a \cdot a + a b - b a - b \cdot b)$

Этап 2.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим противоположные члены в $a \cdot a + a b - b a - b \cdot b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $a b$ и $- b a$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a \cdot a + a b - a b - b \cdot b)$

Этап 2.3.2.1.2

Вычтем $a b$ из $a b$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a \cdot a + 0 - b \cdot b)$

Этап 2.3.2.1.3

Добавим $a \cdot a$ и $0$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a \cdot a - b \cdot b)$

Этап 2.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Умножим $a$ на $a$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a^{2} - b \cdot b)$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Перенесем $b$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a^{2} - (b \cdot b))$

Этап 2.3.2.2.2.2

Умножим $b$ на $b$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a^{2} - b^{2})$

Этап 2.3.2.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 a^{2} + 6 (- b^{2})$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 a^{2} - 6 b^{2}$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $6 a^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(a + b)}^{2}$ в виде $(a + b) (a + b)$ .

$(a + b) (a + b) + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(a + b) (a + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a (a + b) + b (a + b) + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a b + b (a + b) + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a b + b a + b \cdot b + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} + a b + b a + b \cdot b + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$a^{2} + a b + b a + b^{2} + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $a b$ и $b a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.2.1

Изменим порядок $b$ и $a$ .

$a^{2} + a b + a b + b^{2} + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.3.2.2

Добавим $a b$ и $a b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.4

Перепишем ${(a - b)}^{2}$ в виде $(a - b) (a - b)$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + (a - b) (a - b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.5

Развернем $(a - b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a (a - b) - b (a - b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b (a - b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.6.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - b (- b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.6.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.6.1.4

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1.4.1

Перенесем $b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.6.1.4.2

Умножим $b$ на $b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.6.1.6

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.6.2

Вычтем $b a$ из $- a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.2.1

Перенесем $b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.2.6.2.2

Вычтем $a b$ из $- a b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} - 6 a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычтем $2 a b$ из $2 a b$ .

$a^{2} + b^{2} + a^{2} + 0 + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.3.2

Добавим $a^{2} + b^{2} + a^{2}$ и $0$ .

$a^{2} + b^{2} + a^{2} + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.4

Добавим $a^{2}$ и $a^{2}$ .

$2 a^{2} + b^{2} + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.5

Вычтем $6 a^{2}$ из $2 a^{2}$ .

$- 4 a^{2} + b^{2} + b^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.1.6

Добавим $b^{2}$ и $b^{2}$ .

$- 4 a^{2} + 2 b^{2} = - 6 b^{2}$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $2 b^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 a^{2} = - 6 b^{2} - 2 b^{2}$

Этап 3.2.2

Вычтем $2 b^{2}$ из $- 6 b^{2}$ .

$- 4 a^{2} = - 8 b^{2}$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 4 a^{2} = - 8 b^{2}$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 4 a^{2} = - 8 b^{2}$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 a^{2}}{- 4} = \frac{- 8 b^{2}}{- 4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 a^{2}}{- 4} = \frac{- 8 b^{2}}{- 4}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $a^{2}$ на $1$ .

$a^{2} = \frac{- 8 b^{2}}{- 4}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 8 b^{2}$ .

$a^{2} = \frac{- 4 (2 b^{2})}{- 4}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4$ .

$a^{2} = \frac{- 4 (2 b^{2})}{- 4 (1)}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$a^{2} = \frac{- 4 (2 b^{2})}{- 4 \cdot 1}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$a^{2} = \frac{2 b^{2}}{1}$

Этап 3.3.3.1.2.4

Разделим $2 b^{2}$ на $1$ .

$a^{2} = 2 b^{2}$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{2 b^{2}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{2 b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Изменим порядок $2$ и $b^{2}$ .

$a = \pm \sqrt{b^{2} \cdot 2}$

Этап 3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \pm b \sqrt{2}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$a = b \sqrt{2}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$a = - b \sqrt{2}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$a = b \sqrt{2}$

$a = - b \sqrt{2}$

$a = b \sqrt{2}$

$a = - b \sqrt{2}$

$a = b \sqrt{2}$

$a = - b \sqrt{2}$