Элемент. математика Примеры

$\sqrt{2 c - 1} = 2 c - 7$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 c - 1}}^{2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 c - 1}$ в виде ${(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 c - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 c - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 c - 1)}^{1} = {(2 c - 7)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$2 c - 1 = {(2 c - 7)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 c - 7)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(2 c - 7)}^{2}$ в виде $(2 c - 7) (2 c - 7)$ .

$2 c - 1 = (2 c - 7) (2 c - 7)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(2 c - 7) (2 c - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 c - 1 = 2 c (2 c - 7) - 7 (2 c - 7)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 c - 1 = 2 c (2 c) + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c - 7)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 c - 1 = 2 c (2 c) + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 c - 1 = 2 \cdot 2 c \cdot c + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $c$ на $c$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

Перенесем $c$ .

$2 c - 1 = 2 \cdot 2 (c \cdot c) + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Умножим $c$ на $c$ .

$2 c - 1 = 2 \cdot 2 c^{2} + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $- 7$ на $2$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 14 c - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 7$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 14 c - 14 c - 7 \cdot - 7$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 14 c - 14 c + 49$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $14 c$ из $- 14 c$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 28 c + 49$

Этап 3

Решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $c$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 c^{2} - 28 c + 49 = 2 c - 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $c$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $2 c$ из обеих частей уравнения.

$4 c^{2} - 28 c + 49 - 2 c = - 1$

Этап 3.2.2

Вычтем $2 c$ из $- 28 c$ .

$4 c^{2} - 30 c + 49 = - 1$

Этап 3.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 c^{2} - 30 c + 49 + 1 = 0$

Этап 3.4

Добавим $49$ и $1$ .

$4 c^{2} - 30 c + 50 = 0$

Этап 3.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 c^{2} - 30 c + 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 c^{2}$ .

$2 (2 c^{2}) - 30 c + 50 = 0$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 30 c$ .

$2 (2 c^{2}) + 2 (- 15 c) + 50 = 0$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$2 (2 c^{2}) + 2 (- 15 c) + 2 (25) = 0$

Этап 3.5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 c^{2}) + 2 (- 15 c)$ .

$2 (2 c^{2} - 15 c) + 2 (25) = 0$

Этап 3.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 c^{2} - 15 c) + 2 (25)$ .

$2 (2 c^{2} - 15 c + 25) = 0$

Этап 3.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ , а сумма — $b = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 15$ из $- 15 c$ .

$2 (2 c^{2} - 15 c + 25) = 0$

Этап 3.5.2.1.1.2

Запишем $- 15$ как $- 5$ плюс $- 10$

$2 (2 c^{2} + (- 5 - 10) c + 25) = 0$

Этап 3.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 c^{2} - 5 c - 10 c + 25) = 0$

Этап 3.5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((2 c^{2} - 5 c) - 10 c + 25) = 0$

Этап 3.5.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (c (2 c - 5) - 5 (2 c - 5)) = 0$

Этап 3.5.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 c - 5$ .

$2 ((2 c - 5) (c - 5)) = 0$

Этап 3.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (2 c - 5) (c - 5) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 c - 5 = 0$

$c - 5 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $2 c - 5$ к $0$ , затем решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $2 c - 5$ к $0$ .

$2 c - 5 = 0$

Этап 3.7.2

Решим $2 c - 5 = 0$ относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 c = 5$

Этап 3.7.2.2

Разделим каждый член $2 c = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 c = 5$ на $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 3.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 c}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 3.7.2.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{5}{2}$

Этап 3.8

Приравняем $c - 5$ к $0$ , затем решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $c - 5$ к $0$ .

$c - 5 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$c = 5$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (2 c - 5) (c - 5) = 0$ верно.

$c = \frac{5}{2}, 5$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{2 c - 1} = 2 c - 7$ истинным.

$c = 5$