Элемент. математика Примеры

$| 2 d^{2} - 3 d | = 5$

Этап 1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 d^{2} - 3 d = \pm 5$

Этап 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$2 d^{2} - 3 d = 5$

Этап 2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 d^{2} - 3 d - 5 = 0$

Этап 2.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 d$ .

$2 d^{2} - 3 d - 5 = 0$

Этап 2.3.1.2

Запишем $- 3$ как $2$ плюс $- 5$

$2 d^{2} + (2 - 5) d - 5 = 0$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 d^{2} + 2 d - 5 d - 5 = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 d^{2} + 2 d) - 5 d - 5 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 d (d + 1) - 5 (d + 1) = 0$

Этап 2.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $d + 1$ .

$(d + 1) (2 d - 5) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$d + 1 = 0$

$2 d - 5 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $d + 1$ к $0$ , затем решим относительно $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $d + 1$ к $0$ .

$d + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$d = - 1$

Этап 2.6

Приравняем $2 d - 5$ к $0$ , затем решим относительно $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $2 d - 5$ к $0$ .

$2 d - 5 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $2 d - 5 = 0$ относительно $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 d = 5$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $2 d = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 d = 5$ на $2$ .

$\frac{2 d}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 d}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $d$ на $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(d + 1) (2 d - 5) = 0$ верно.

$d = - 1, \frac{5}{2}$

Этап 2.8

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$2 d^{2} - 3 d = - 5$

Этап 2.9

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 d^{2} - 3 d + 5 = 0$

Этап 2.10

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.11

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 3$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $d$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$d = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.12.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$d = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.12.1.2.2

Умножим $- 8$ на $5$ .

$d = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.12.1.3

Вычтем $40$ из $9$ .

$d = \frac{3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.12.1.4

Перепишем $- 31$ в виде $- 1 (31)$ .

$d = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.12.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (31)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ .

$d = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.12.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$d = \frac{3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$d = \frac{3 \pm i \sqrt{31}}{4}$

Этап 2.13

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$d = \frac{3 + i \sqrt{31}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{31}}{4}$

Этап 2.14

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$d = - 1, \frac{5}{2}, \frac{3 + i \sqrt{31}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{31}}{4}$