Элемент. математика Примеры

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{9}$ , $\frac{1}{16}$

Этап 1

Среднее арифметическое значение набора чисел ― это их сумма, деленная на число членов.

$\overline{x} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}}{3}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}}{3}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}}{3}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{9}{2 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}}{3}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{9}{18} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}}{3}$

Этап 2.3.3

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{9}{18} + \frac{2}{9 \cdot 2} + \frac{1}{16}}{3}$

Этап 2.3.4

Умножим $9$ на $2$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{9}{18} + \frac{2}{18} + \frac{1}{16}}{3}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\overline{x} = \frac{\frac{9 + 2}{18} + \frac{1}{16}}{3}$

Этап 2.5

Добавим $9$ и $2$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{11}{18} + \frac{1}{16}}{3}$

Этап 2.6

Чтобы записать $\frac{11}{18}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{11}{18} \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{16}}{3}$

Этап 2.7

Чтобы записать $\frac{1}{16}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{11}{18} \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}}{3}$

Этап 2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $144$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $\frac{11}{18}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{11 \cdot 8}{18 \cdot 8} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}}{3}$

Этап 2.8.2

Умножим $18$ на $8$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{11 \cdot 8}{144} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}}{3}$

Этап 2.8.3

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{11 \cdot 8}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9}}{3}$

Этап 2.8.4

Умножим $16$ на $9$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{11 \cdot 8}{144} + \frac{9}{144}}{3}$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\overline{x} = \frac{\frac{11 \cdot 8 + 9}{144}}{3}$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $11$ на $8$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{88 + 9}{144}}{3}$

Этап 2.10.2

Добавим $88$ и $9$ .

$\overline{x} = \frac{\frac{97}{144}}{3}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\overline{x} = \frac{97}{144} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4

Умножим $\frac{97}{144} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{97}{144}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\overline{x} = \frac{97}{144 \cdot 3}$

Этап 4.2

Умножим $144$ на $3$ .

$\overline{x} = \frac{97}{432}$

Этап 5

Разделим.

$\overline{x} = 0.2245\overline{370}$

Этап 6

Среднее значение следует округлить до одного дополнительного знака после запятой по сравнению с исходными данными. Если исходные данные были смешанными, округлим до одного дополнительного знака после запятой по сравнению с наименее точными исходными данными.

$\overline{x} = 0.2$

Этап 7

Запишем формулу для дисперсии. Дисперсия множества значений — это мера их разброса.

$s^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}$

Этап 8

Запишем формулу дисперсии для этого набора чисел.

$s = \frac{{(\frac{1}{2} - 0.2)}^{2} + {(\frac{1}{9} - 0.2)}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $- 0.2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{{(\frac{1}{2} - 0.2 \cdot \frac{2}{2})}^{2} + {(\frac{1}{9} - 0.2)}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.2

Объединим $- 0.2$ и $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{{(\frac{1}{2} + \frac{- 0.2 \cdot 2}{2})}^{2} + {(\frac{1}{9} - 0.2)}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$s = \frac{{(\frac{1 - 0.2 \cdot 2}{2})}^{2} + {(\frac{1}{9} - 0.2)}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Умножим $- 0.2$ на $2$ .

$s = \frac{{(\frac{1 - 0.4}{2})}^{2} + {(\frac{1}{9} - 0.2)}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.4.2

Вычтем $0.4$ из $1$ .

$s = \frac{{(\frac{0.6}{2})}^{2} + {(\frac{1}{9} - 0.2)}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.5

Разделим $0.6$ на $2$ .

$s = \frac{{0.3}^{2} + {(\frac{1}{9} - 0.2)}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.6

Возведем $0.3$ в степень $2$ .

$s = \frac{0.09 + {(\frac{1}{9} - 0.2)}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.7

Чтобы записать $- 0.2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$s = \frac{0.09 + {(\frac{1}{9} - 0.2 \cdot \frac{9}{9})}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.8

Объединим $- 0.2$ и $\frac{9}{9}$ .

$s = \frac{0.09 + {(\frac{1}{9} + \frac{- 0.2 \cdot 9}{9})}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$s = \frac{0.09 + {(\frac{1 - 0.2 \cdot 9}{9})}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.10.1

Умножим $- 0.2$ на $9$ .

$s = \frac{0.09 + {(\frac{1 - 1.8}{9})}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.10.2

Вычтем $1.8$ из $1$ .

$s = \frac{0.09 + {(\frac{- 0.8}{9})}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.11

Разделим $- 0.8$ на $9$ .

$s = \frac{0.09 + {(- 0.0\overline{8})}^{2} + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.12

Возведем $- 0.0\overline{8}$ в степень $2$ .

$s = \frac{0.09 + 0.00790123 + {(\frac{1}{16} - 0.2)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.13

Чтобы записать $- 0.2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$s = \frac{0.09 + 0.00790123 + {(\frac{1}{16} - 0.2 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.14

Объединим $- 0.2$ и $\frac{16}{16}$ .

$s = \frac{0.09 + 0.00790123 + {(\frac{1}{16} + \frac{- 0.2 \cdot 16}{16})}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$s = \frac{0.09 + 0.00790123 + {(\frac{1 - 0.2 \cdot 16}{16})}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.16.1

Умножим $- 0.2$ на $16$ .

$s = \frac{0.09 + 0.00790123 + {(\frac{1 - 3.2}{16})}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.16.2

Вычтем $3.2$ из $1$ .

$s = \frac{0.09 + 0.00790123 + {(\frac{- 2.2}{16})}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.17

Разделим $- 2.2$ на $16$ .

$s = \frac{0.09 + 0.00790123 + {(- 0.1375)}^{2}}{3 - 1}$

Этап 9.1.18

Возведем $- 0.1375$ в степень $2$ .

$s = \frac{0.09 + 0.00790123 + 0.01890625}{3 - 1}$

Этап 9.1.19

Добавим $0.09$ и $0.00790123$ .

$s = \frac{0.09790123 + 0.01890625}{3 - 1}$

Этап 9.1.20

Добавим $0.09790123$ и $0.01890625$ .

$s = \frac{0.11680748}{3 - 1}$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $1$ из $3$ .

$s = \frac{0.11680748}{2}$

Этап 9.2.2

Разделим $0.11680748$ на $2$ .

$s = 0.05840374$

Этап 10

Аппроксимируем результат.

$s^{2} \approx 0.0584$