Элемент. математика Примеры

$\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13}{\sqrt{9} + \sqrt{10} + \sqrt{11}}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13}{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{10} + \sqrt{11}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13}{3 + \sqrt{10} + \sqrt{11}}$

Этап 2

Умножим $\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13}{3 + \sqrt{10} + \sqrt{11}}$ на $\frac{3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}}{3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}}$ .

$\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13}{3 + \sqrt{10} + \sqrt{11}} \cdot \frac{3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}}{3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}}$

Этап 3

Умножим $\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13}{3 + \sqrt{10} + \sqrt{11}}$ на $\frac{3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}}{3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}}$ .

$\frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11})}{(3 + \sqrt{10} + \sqrt{11}) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11})}$

Этап 4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11})}{9 + 3 \sqrt{10} - 3 \sqrt{11} + \sqrt{10} \cdot 3 + {\sqrt{10}}^{2} - \sqrt{110} + \sqrt{11} \cdot 3 + \sqrt{110} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

$\frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11})}{8 + 6 \sqrt{10}}$

Этап 6

Умножим $\frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11})}{8 + 6 \sqrt{10}}$ на $\frac{8 - 6 \sqrt{10}}{8 - 6 \sqrt{10}}$ .

$\frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11})}{8 + 6 \sqrt{10}} \cdot \frac{8 - 6 \sqrt{10}}{8 - 6 \sqrt{10}}$

Этап 7

Умножим $\frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11})}{8 + 6 \sqrt{10}}$ на $\frac{8 - 6 \sqrt{10}}{8 - 6 \sqrt{10}}$ .

$\frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}) (8 - 6 \sqrt{10})}{(8 + 6 \sqrt{10}) (8 - 6 \sqrt{10})}$

Этап 8

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}) (8 - 6 \sqrt{10})}{64 - 48 \sqrt{10} + 48 \sqrt{10} - 36 {\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 9

Упростим.

$\frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}) (8 - 6 \sqrt{10})}{- 296}$

Этап 10

Сократим общий множитель $8 - 6 \sqrt{10}$ и $- 296$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $2$ из $(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}) (8 - 6 \sqrt{10})$ .

$\frac{2 ((4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}) (4 - 3 \sqrt{10}))}{- 296}$

Этап 10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 296$ .

$\frac{2 ((4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}) (4 - 3 \sqrt{10}))}{2 (- 148)}$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}) (4 - 3 \sqrt{10}))}{2 \cdot - 148}$

Этап 10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}) (4 - 3 \sqrt{10})}{- 148}$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}) (4 - 3 \sqrt{10})}{148}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{(4 \sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{110} + 13) (3 + \sqrt{10} - \sqrt{11}) (4 - 3 \sqrt{10})}{148}$

Десятичная форма:

$4.16227766 \dots$