Элемент. математика Примеры

$\cos (θ) + \cos (3 θ) = 2 \cos (2 θ)$

Этап 1

Вычтем $2 \cos (2 θ)$ из обеих частей уравнения.

$\cos (θ) + \cos (3 θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем формулу тройного угла для преобразования $\cos (3 x)$ в $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Этап 2.1.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ)) - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 2.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $3 \cos (θ)$ из $\cos (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Этап 3

Разложим $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 \cos^{3} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \cos^{2} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Этап 3.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Этап 3.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1)$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

Этап 3.2

Изменим порядок членов.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Этап 3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (2 \cos^{2} (θ) (\cos (θ) - 1) - (\cos (θ) - 1)) = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\cos (θ) - 1$ .

$2 ((\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1)) = 0$

Этап 3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (θ) - 1$ к $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (θ) = 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 5.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - 0$

Этап 5.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$θ = 2 π$

Этап 5.2.6

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.7

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $2 \cos^{2} (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 \cos^{2} (θ) - 1$ к $0$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos^{2} (θ) = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 \cos^{2} (θ) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos^{2} (θ) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (θ)$ на $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 6.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 6.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 6.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.7

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 6.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 6.2.7.3

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.7.4

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.2.7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 6.2.7.4.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Этап 6.2.7.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.7.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.8

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 6.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2.8.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2.8.4

Упростим $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2.8.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2.8.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 6.2.8.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 6.2.8.4.3.2

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.2.8.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.9

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.10

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим $2 π n$ и $2 π + 2 π n$ в $2 π n$ .

$θ = 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$