Элемент. математика Примеры

$2 z^{3} - 16 z - 16$

Этап 1

Вынесем множитель $2$ из $2 z^{3} - 16 z - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 z^{3}$ .

$2 (z^{3}) - 16 z - 16$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 16 z$ .

$2 (z^{3}) + 2 (- 8 z) - 16$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$2 z^{3} + 2 (- 8 z) + 2 \cdot - 8$

Этап 1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 z^{3} + 2 (- 8 z)$ .

$2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$

Этап 1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$ .

$2 (z^{3} - 8 z - 8)$

Этап 2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $z^{3} - 8 z - 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 2.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} - 8 \cdot - 2 - 8$

Этап 2.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - 8 \cdot - 2 - 8$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$- 8 + 16 - 8$

Этап 2.1.3.4

Добавим $- 8$ и $16$ .

$8 - 8$

Этап 2.1.3.5

Вычтем $8$ из $8$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $z + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{z^{3} - 8 z - 8}{z + 2}$

Этап 2.1.5

Разделим $z^{3} - 8 z - 8$ на $z + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$z$

$2$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$8 z$

$8$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $z^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $z$ .

					$z^{2}$
	$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			+	$z^{3}$	+	$2 z^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $z^{3} + 2 z^{2}$ .

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 z^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					-	$2 z^{2}$	-	$4 z$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 z^{2} - 4 z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 z$ на член с максимальной степенью в делителе $z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							-	$4 z$	-	$8$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 z - 8$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$z^{2} - 2 z - 4$

Этап 2.1.6

Запишем $z^{3} - 8 z - 8$ в виде набора множителей.

$2 ((z + 2) (z^{2} - 2 z - 4))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (z + 2) (z^{2} - 2 z - 4)$