Элемент. математика Примеры

$20 m n + p^{2} - 4 m^{2} - 25 n^{2}$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$p^{2} + 20 m n - 4 m^{2} - 25 n^{2}$

Этап 2

Добавим круглые скобки.

$p^{2} + 20 (m n) - 4 m^{2} - 25 n^{2}$

Этап 3

Пусть $u = m n$ . Подставим $u$ вместо $m n$ для всех.

$p^{2} + 20 u - 4 m^{2} - 25 n^{2}$

Этап 4

Вынесем множитель $- 1$ из $20 u - 4 m^{2} - 25 n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $20 u$ .

$p^{2} - 4 m^{2} - 25 n^{2} + 20 u$

Этап 4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 m^{2}$ .

$p^{2} - (4 m^{2}) - 25 n^{2} + 20 u$

Этап 4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 25 n^{2}$ .

$p^{2} - (4 m^{2}) - (25 n^{2}) + 20 u$

Этап 4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $20 u$ .

$p^{2} - (4 m^{2}) - (25 n^{2}) - (- 20 u)$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 m^{2}) - (25 n^{2})$ .

$p^{2} - (4 m^{2} + 25 n^{2}) - (- 20 u)$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 m^{2} + 25 n^{2}) - (- 20 u)$ .

$p^{2} - (4 m^{2} + 25 n^{2} - 20 u)$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $m n$ .

$p^{2} - (4 m^{2} + 25 n^{2} - 20 (m n))$

Этап 6

Избавимся от скобок.

$p^{2} - (4 m^{2} + 25 n^{2} - 20 m n)$

Этап 7

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Переставляем члены.

$p^{2} - (4 m^{2} - 20 m n + 25 n^{2})$

Этап 7.2

Перепишем $4 m^{2}$ в виде ${(2 m)}^{2}$ .

$p^{2} - ({(2 m)}^{2} - 20 m n + 25 n^{2})$

Этап 7.3

Перепишем $25 n^{2}$ в виде ${(5 n)}^{2}$ .

$p^{2} - ({(2 m)}^{2} - 20 m n + {(5 n)}^{2})$

Этап 7.4

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$20 m n = 2 \cdot (2 m) \cdot (5 n)$

Этап 7.5

Перепишем многочлен.

$p^{2} - ({(2 m)}^{2} - 2 \cdot (2 m) \cdot (5 n) + {(5 n)}^{2})$

Этап 7.6

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 m$ и $b = 5 n$ .

$p^{2} - {(2 m - 5 n)}^{2}$

Этап 8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = p$ и $b = 2 m - 5 n$ .

$(p + 2 m - 5 n) (p - (2 m - 5 n))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(p + 2 m - 5 n) (p - (2 m) - (- 5 n))$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(p + 2 m - 5 n) (p - 2 m - (- 5 n))$

Этап 9.3

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$(p + 2 m - 5 n) (p - 2 m + 5 n)$