Элемент. математика Примеры

$- 3 {(5 b + 3)}^{3} - 6 (5 b + 3) + 9$

Этап 1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 {(5 b + 3)}^{3} - 6 (5 b + 3) + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 {(5 b + 3)}^{3}$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 6 (5 b + 3) + 9$

Этап 1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6 (5 b + 3)$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3)) + 9$

Этап 1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $9$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3))$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$

Этап 1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 2

Воспользуемся бином Ньютона.

$- 3 ({(5 b)}^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $5 b$ .

$- 3 (5^{3} b^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $5 b$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 (5^{2} b^{2}) \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 (25 b^{2}) \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.5

Умножим $25$ на $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 75 b^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $75$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем $3^{2}$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2} \cdot 3 (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.7.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2 + 1} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{3} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 27 (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.9

Умножим $5$ на $27$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 3.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 2 (5 b + 3) - 3)$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 2 (5 b) + 2 \cdot 3 - 3)$

Этап 5

Умножим $5$ на $2$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 10 b + 2 \cdot 3 - 3)$

Этап 6

Умножим $2$ на $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 10 b + 6 - 3)$

Этап 7

Добавим $135 b$ и $10 b$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 27 + 6 - 3)$

Этап 8

Добавим $27$ и $6$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 33 - 3)$

Этап 9

Вычтем $3$ из $33$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30)$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $5$ из $125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $125 b^{3}$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 225 b^{2} + 145 b + 30)$

Этап 10.1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $225 b^{2}$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 145 b + 30)$

Этап 10.1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $145 b$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 5 (29 b) + 30)$

Этап 10.1.1.4

Вынесем множитель $5$ из $30$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 5 (29 b) + 5 (6))$

Этап 10.1.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2})$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2}) + 5 (29 b) + 5 (6))$

Этап 10.1.1.6

Вынесем множитель $5$ из $5 (25 b^{3} + 45 b^{2}) + 5 (29 b)$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b) + 5 (6))$

Этап 10.1.1.7

Вынесем множитель $5$ из $5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b) + 5 (6)$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6))$

Этап 10.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Разложим $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Этап 10.1.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 6, \pm 0.24, \pm 1.2, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 3, \pm 0.12, \pm 0.6$

Этап 10.1.2.1.3

Подставим $- 0.4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1.3.1

Подставим $- 0.4$ в многочлен.

$25 {(- 0.4)}^{3} + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Этап 10.1.2.1.3.2

Возведем $- 0.4$ в степень $3$ .

$25 \cdot - 0.064 + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Этап 10.1.2.1.3.3

Умножим $25$ на $- 0.064$ .

$- 1.6 + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Этап 10.1.2.1.3.4

Возведем $- 0.4$ в степень $2$ .

$- 1.6 + 45 \cdot 0.16 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Этап 10.1.2.1.3.5

Умножим $45$ на $0.16$ .

$- 1.6 + 7.2 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Этап 10.1.2.1.3.6

Добавим $- 1.6$ и $7.2$ .

$5.6 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Этап 10.1.2.1.3.7

Умножим $29$ на $- 0.4$ .

$5.6 - 11.6 + 6$

Этап 10.1.2.1.3.8

Вычтем $11.6$ из $5.6$ .

$- 6 + 6$

Этап 10.1.2.1.3.9

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 10.1.2.1.4

Поскольку $- 0.4$ — известный корень, разделим многочлен на $5 b + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6}{5 b + 2}$

Этап 10.1.2.1.5

Разделим $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ на $5 b + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5 b$

$2$

$25 b^{3}$

$45 b^{2}$

$29 b$

$6$

Этап 10.1.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $25 b^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 b$ .

					$5 b^{2}$
	$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$

Этап 10.1.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			+	$25 b^{3}$	+	$10 b^{2}$

Этап 10.1.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $25 b^{3} + 10 b^{2}$ .

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$

Этап 10.1.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$

Этап 10.1.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$

Этап 10.1.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $35 b^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$

Этап 10.1.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					+	$35 b^{2}$	+	$14 b$

Этап 10.1.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $35 b^{2} + 14 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$

Этап 10.1.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$

Этап 10.1.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$

Этап 10.1.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 b$ на член с максимальной степенью в делителе $5 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$

Этап 10.1.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							+	$15 b$	+	$6$

Этап 10.1.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 b + 6$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							-	$15 b$	-	$6$

Этап 10.1.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							-	$15 b$	-	$6$
										$0$

Этап 10.1.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$5 b^{2} + 7 b + 3$

Этап 10.1.2.1.6

Запишем $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ в виде набора множителей.

$- 3 (5 ((5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)))$

Этап 10.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (5 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 \cdot 5 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)$

Этап 11

Умножим $- 3$ на $5$ .

$- 15 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)$