Элемент. математика Примеры

$3 + \frac{\sqrt{18}}{1 + \sqrt{8}}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$3 + \frac{\sqrt{9 (2)}}{1 + \sqrt{8}}$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$3 + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{1 + \sqrt{8}}$

Этап 1.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 + \frac{3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{8}}$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$3 + \frac{3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{4 (2)}}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$3 + \frac{3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 + \frac{3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$ на $\frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$ .

$3 + \frac{3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$

Этап 1.4

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$ на $\frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$ .

$3 + \frac{3 \sqrt{2} (1 - 2 \sqrt{2})}{(1 + 2 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})}$

Этап 1.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$3 + \frac{3 \sqrt{2} (1 - 2 \sqrt{2})}{1 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

$3 + \frac{3 \sqrt{2} (1 - 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Этап 1.7

Сгруппируем $1 - 2 \sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$3 + \frac{3 ((1 - 2 \sqrt{2}) \sqrt{2})}{- 7}$

Этап 1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$3 + \frac{3 (1 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2})}{- 7}$

Этап 1.9

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2})}{- 7}$

Этап 1.10

Умножим $- 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}))}{- 7}$

Этап 1.10.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}))}{- 7}$

Этап 1.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1})}{- 7}$

Этап 1.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 {\sqrt{2}}^{2})}{- 7}$

Этап 1.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 7}$

Этап 1.11.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 7}$

Этап 1.11.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}{- 7}$

Этап 1.11.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1.4.1

Сократим общий множитель.

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}{- 7}$

Этап 1.11.1.4.2

Перепишем это выражение.

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \cdot 2^{1})}{- 7}$

Этап 1.11.1.5

Найдем экспоненту.

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 2 \cdot 2)}{- 7}$

Этап 1.11.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 + \frac{3 (\sqrt{2} - 4)}{- 7}$

Этап 1.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 - \frac{3 (\sqrt{2} - 4)}{7}$

Этап 2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$3 \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 (\sqrt{2} - 4)}{7}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $3$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{7} - \frac{3 (\sqrt{2} - 4)}{7}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 7 - 3 (\sqrt{2} - 4)}{7}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{21 - 3 (\sqrt{2} - 4)}{7}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{21 - 3 \sqrt{2} - 3 \cdot - 4}{7}$

Этап 4.3

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$\frac{21 - 3 \sqrt{2} + 12}{7}$

Этап 4.4

Добавим $21$ и $12$ .

$\frac{33 - 3 \sqrt{2}}{7}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{33 - 3 \sqrt{2}}{7}$

Десятичная форма:

$4.10819418 \dots$