Элемент. математика Примеры

$\frac{a^{2} - 2 a - 3}{a^{2} - 9 a + 18} + \frac{a^{2} - 5 a - 6}{a^{2} + 9 a + 8}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $a^{2} - 2 a - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(a - 3) (a + 1)}{a^{2} - 9 a + 18} + \frac{a^{2} - 5 a - 6}{a^{2} + 9 a + 8}$

Этап 1.2

Разложим $a^{2} - 9 a + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $- 9$ .

$- 6, - 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(a - 3) (a + 1)}{(a - 6) (a - 3)} + \frac{a^{2} - 5 a - 6}{a^{2} + 9 a + 8}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $a - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 3) (a + 1)}{(a - 6) (a - 3)} + \frac{a^{2} - 5 a - 6}{a^{2} + 9 a + 8}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a + 1}{a - 6} + \frac{a^{2} - 5 a - 6}{a^{2} + 9 a + 8}$

Этап 1.4

Разложим $a^{2} - 5 a - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 6, 1$

Этап 1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{a + 1}{a - 6} + \frac{(a - 6) (a + 1)}{a^{2} + 9 a + 8}$

Этап 1.5

Разложим $a^{2} + 9 a + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $9$ .

$1, 8$

Этап 1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{a + 1}{a - 6} + \frac{(a - 6) (a + 1)}{(a + 1) (a + 8)}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $a + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a + 1}{a - 6} + \frac{(a - 6) (a + 1)}{(a + 1) (a + 8)}$

Этап 1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a + 1}{a - 6} + \frac{a - 6}{a + 8}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{a + 1}{a - 6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 8}{a + 8}$ .

$\frac{a + 1}{a - 6} \cdot \frac{a + 8}{a + 8} + \frac{a - 6}{a + 8}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{a - 6}{a + 8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a - 6}{a - 6}$ .

$\frac{a + 1}{a - 6} \cdot \frac{a + 8}{a + 8} + \frac{a - 6}{a + 8} \cdot \frac{a - 6}{a - 6}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a - 6) (a + 8)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{a + 1}{a - 6}$ на $\frac{a + 8}{a + 8}$ .

$\frac{(a + 1) (a + 8)}{(a - 6) (a + 8)} + \frac{a - 6}{a + 8} \cdot \frac{a - 6}{a - 6}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{a - 6}{a + 8}$ на $\frac{a - 6}{a - 6}$ .

$\frac{(a + 1) (a + 8)}{(a - 6) (a + 8)} + \frac{(a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(a - 6) (a + 8)$ .

$\frac{(a + 1) (a + 8)}{(a + 8) (a - 6)} + \frac{(a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a + 1) (a + 8) + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(a + 1) (a + 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (a + 8) + 1 (a + 8) + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 8 + 1 (a + 8) + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 8 + 1 a + 1 \cdot 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 8 + 1 a + 1 \cdot 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $8$ влево от $a$ .

$\frac{a^{2} + 8 \cdot a + 1 a + 1 \cdot 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{a^{2} + 8 a + a + 1 \cdot 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{a^{2} + 8 a + a + 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.2.2

Добавим $8 a$ и $a$ .

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + (a - 6) (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.3

Развернем $(a - 6) (a - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a (a - 6) - 6 (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a \cdot a + a \cdot - 6 - 6 (a - 6)}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a \cdot a + a \cdot - 6 - 6 a - 6 \cdot - 6}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a^{2} + a \cdot - 6 - 6 a - 6 \cdot - 6}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.4.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $a$ .

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a^{2} - 6 \cdot a - 6 a - 6 \cdot - 6}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.4.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a^{2} - 6 a - 6 a + 36}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.4.2

Вычтем $6 a$ из $- 6 a$ .

$\frac{a^{2} + 9 a + 8 + a^{2} - 12 a + 36}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.5

Добавим $a^{2}$ и $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} + 9 a + 8 - 12 a + 36}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.6

Вычтем $12 a$ из $9 a$ .

$\frac{2 a^{2} - 3 a + 8 + 36}{(a + 8) (a - 6)}$

Этап 6.7

Добавим $8$ и $36$ .

$\frac{2 a^{2} - 3 a + 44}{(a + 8) (a - 6)}$