Элемент. математика Примеры

$\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$

Этап 1

Умножим $\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$ на $\frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$ .

$\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}} \cdot \frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$ на $\frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{(3 + \sqrt{c}) (3 - \sqrt{c})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - 3 \sqrt{c} + \sqrt{c} \cdot 3 - {\sqrt{c}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{c}$ в виде $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{1}}$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 3

Развернем $(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \sqrt{c} (3 - \sqrt{c}) + 2 (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \sqrt{c} \cdot 3 + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \sqrt{c} \cdot 3 + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15 \sqrt{c} + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.2

Умножим $5 \sqrt{c} (- \sqrt{c})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 \sqrt{c} \sqrt{c} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.2.2

Возведем $\sqrt{c}$ в степень $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 ({\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.2.3

Возведем $\sqrt{c}$ в степень $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 ({\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {\sqrt{c}}^{1 + 1} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {\sqrt{c}}^{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.3

Перепишем ${\sqrt{c}}^{2}$ в виде $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{c}$ в виде $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{1} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.3.5

Упростим.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 6 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Этап 4.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 6 - 2 \sqrt{c}}{9 - c}$

Этап 4.2

Вычтем $2 \sqrt{c}$ из $15 \sqrt{c}$ .

$\frac{- 5 c + 6 + 13 \sqrt{c}}{9 - c}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{c}$ в виде $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 c + 6 + 13 c^{\frac{1}{2}}}{9 - c}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{- 5 c + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6}{9 - c}$

Этап 5.3

Перепишем $- 5 c + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $c$ в виде ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{- 5 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6}{9 - c}$

Этап 5.3.2

Пусть $u = c^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $c^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$\frac{- 5 u^{2} + 13 u + 6}{9 - c}$

Этап 5.3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 5 \cdot 6 = - 30$ , а сумма — $b = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $13$ из $13 u$ .

$\frac{- 5 u^{2} + 13 (u) + 6}{9 - c}$

Этап 5.3.3.1.2

Запишем $13$ как $- 2$ плюс $15$

$\frac{- 5 u^{2} + (- 2 + 15) u + 6}{9 - c}$

Этап 5.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 5 u^{2} - 2 u + 15 u + 6}{9 - c}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- 5 u^{2} - 2 u) + 15 u + 6}{9 - c}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{u (- 5 u - 2) - 3 (- 5 u - 2)}{9 - c}$

Этап 5.3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 5 u - 2$ .

$\frac{(- 5 u - 2) (u - 3)}{9 - c}$

Этап 5.3.4

Заменим все вхождения $u$ на $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- 5 c^{\frac{1}{2}} - 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 c^{\frac{1}{2}} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Этап 5.3.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)$ .

$\frac{- (5 c^{\frac{1}{2}} + 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(5 c^{\frac{1}{2}} + 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$