Элемент. математика Примеры

$\frac{7 + 6 t - t^{2}}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $7$ как $16$ плюс $- 9$

$\frac{16 - 9 + 6 t - t^{2}}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{16 - (3^{2} - 6 t + t^{2})}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 t = 2 \cdot 3 \cdot t$

Этап 1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{16 - (3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot t + t^{2})}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 3$ и $b = t$ .

$\frac{16 - {(3 - t)}^{2}}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{4^{2} - {(3 - t)}^{2}}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = 3 - t$ .

$\frac{(4 + 3 - t) (4 - (3 - t))}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{(7 - t) (4 - (3 - t))}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(7 - t) (4 - 1 \cdot 3 - - t)}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.5.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{(7 - t) (4 - 3 - - t)}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.5.4

Умножим $- - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(7 - t) (4 - 3 + 1 t)}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.5.4.2

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{(7 - t) (4 - 3 + t)}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 1.5.5

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{(7 - t) (1 + t)}{t^{2} + 12 t + 11}$

Этап 2

Разложим $t^{2} + 12 t + 11$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $11$ , а сумма — $12$ .

$1, 11$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(7 - t) (1 + t)}{(t + 1) (t + 11)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $1 + t$ и $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(7 - t) (t + 1)}{(t + 1) (t + 11)}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 - t) (t + 1)}{(t + 1) (t + 11)}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 - t}{t + 11}$