Элемент. математика Примеры

$\frac{7 \sqrt{10} - 3 \sqrt{2}}{4 \sqrt{10} + 5 \sqrt{2}}$

Этап 1

Умножим $\frac{7 \sqrt{10} - 3 \sqrt{2}}{4 \sqrt{10} + 5 \sqrt{2}}$ на $\frac{4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}{4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}$ .

$\frac{7 \sqrt{10} - 3 \sqrt{2}}{4 \sqrt{10} + 5 \sqrt{2}} \cdot \frac{4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}{4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{7 \sqrt{10} - 3 \sqrt{2}}{4 \sqrt{10} + 5 \sqrt{2}}$ на $\frac{4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}{4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(7 \sqrt{10} - 3 \sqrt{2}) (4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{10} + 5 \sqrt{2}) (4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(7 \sqrt{10} - 3 \sqrt{2}) (4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2})}{16 {\sqrt{10}}^{2} - 20 \sqrt{20} + 20 \sqrt{20} - 25 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(7 \sqrt{10} - 3 \sqrt{2}) (4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 3

Развернем $(7 \sqrt{10} - 3 \sqrt{2}) (4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 \sqrt{10} (4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 \sqrt{10} (4 \sqrt{10}) + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 \sqrt{10} (4 \sqrt{10}) + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $7 \sqrt{10} (4 \sqrt{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $4$ на $7$ .

$\frac{28 \sqrt{10} \sqrt{10} + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.1.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\frac{28 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}) + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.1.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\frac{28 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}) + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{28 {\sqrt{10}}^{1 + 1} + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{28 {\sqrt{10}}^{2} + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.2

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{28 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{28 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{28 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{28 \cdot 10^{1} + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{28 \cdot 10 + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.3

Умножим $28$ на $10$ .

$\frac{280 + 7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.4

Умножим $7 \sqrt{10} (- 5 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $- 5$ на $7$ .

$\frac{280 - 35 \sqrt{10} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.4.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{280 - 35 \sqrt{2 \cdot 10} - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{280 - 35 \sqrt{20} - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.5

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{280 - 35 \sqrt{4 (5)} - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{280 - 35 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{280 - 35 (2 \sqrt{5}) - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.7

Умножим $2$ на $- 35$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.8

Умножим $- 3 \sqrt{2} (4 \sqrt{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 12 \sqrt{2} \sqrt{10} - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.8.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 12 \sqrt{10 \cdot 2} - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.8.3

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 12 \sqrt{20} - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.9

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 12 \sqrt{4 (5)} - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.9.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 12 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 12 (2 \sqrt{5}) - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.11

Умножим $2$ на $- 12$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.12

Умножим $- 3 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 \sqrt{2} \sqrt{2}}{110}$

Этап 4.1.12.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{110}$

Этап 4.1.12.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{110}$

Этап 4.1.12.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{110}$

Этап 4.1.12.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 {\sqrt{2}}^{2}}{110}$

Этап 4.1.13

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{110}$

Этап 4.1.13.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{110}$

Этап 4.1.13.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{110}$

Этап 4.1.13.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{110}$

Этап 4.1.13.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 \cdot 2^{1}}{110}$

Этап 4.1.13.5

Найдем экспоненту.

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 15 \cdot 2}{110}$

Этап 4.1.14

Умножим $15$ на $2$ .

$\frac{280 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5} + 30}{110}$

Этап 4.2

Добавим $280$ и $30$ .

$\frac{310 - 70 \sqrt{5} - 24 \sqrt{5}}{110}$

Этап 4.3

Вычтем $24 \sqrt{5}$ из $- 70 \sqrt{5}$ .

$\frac{310 - 94 \sqrt{5}}{110}$

Этап 5

Сократим общий множитель $310 - 94 \sqrt{5}$ и $110$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $310$ .

$\frac{2 (155) - 94 \sqrt{5}}{110}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 94 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (155) + 2 (- 47 \sqrt{5})}{110}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (155) + 2 (- 47 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (155 - 47 \sqrt{5})}{110}$

Этап 5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $110$ .

$\frac{2 (155 - 47 \sqrt{5})}{2 \cdot 55}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (155 - 47 \sqrt{5})}{2 \cdot 55}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{155 - 47 \sqrt{5}}{55}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{155 - 47 \sqrt{5}}{55}$

Десятичная форма:

$0.90736009 \dots$