Элемент. математика Примеры

$\frac{9 a^{2} - 4 b^{2}}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9 a^{2}$ в виде ${(3 a)}^{2}$ .

$\frac{{(3 a)}^{2} - 4 b^{2}}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$

Этап 1.2

Перепишем $4 b^{2}$ в виде ${(2 b)}^{2}$ .

$\frac{{(3 a)}^{2} - {(2 b)}^{2}}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 a$ и $b = 2 b$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - (2 b))}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$

Этап 1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b)}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$

Этап 2

Умножим $\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b)}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$ на $\frac{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b)}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}} \cdot \frac{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b)}{\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}}$ на $\frac{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}{\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{(\sqrt{3 a} - \sqrt{2 b}) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}$

Этап 3.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{\sqrt{3 a}}^{2} + \sqrt{6 a b} - \sqrt{6 a b} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем ${\sqrt{3 a}}^{2}$ в виде $3 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 a}$ в виде ${(3 a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{({(3 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{(3 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{(3 a)}^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{(3 a)}^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{{(3 a)}^{1} - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Упростим.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {\sqrt{2 b}}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перепишем ${\sqrt{2 b}}^{2}$ в виде $2 b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 b}$ в виде ${(2 b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {({(2 b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {(2 b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {(2 b)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {(2 b)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - {(2 b)}^{1}}$

Этап 3.3.2.5

Упростим.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - (2 b)}$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - 2 b}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $3 a - 2 b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})}{3 a - 2 b}$

Этап 3.4.2

Разделим $(3 a + 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})$ на $1$ .

$(3 a + 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})$

Этап 4

Развернем $(3 a + 2 b) (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 a (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b}) + 2 b (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 a \sqrt{3 a} + 3 a \sqrt{2 b} + 2 b (\sqrt{3 a} + \sqrt{2 b})$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 a \sqrt{3 a} + 3 a \sqrt{2 b} + 2 b \sqrt{3 a} + 2 b \sqrt{2 b}$