Элемент. математика Примеры

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{45}}{3 - \sqrt{20}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $45$ в виде $3^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{9 (5)}}{3 - \sqrt{20}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{3 - \sqrt{20}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{20}}$

Этап 1.3

Добавим $\sqrt{5}$ и $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{20}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{4 (5)}}$

Этап 2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - (2 \sqrt{5})}$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}}$

Этап 3

Умножим $\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}}$ на $\frac{3 + 2 \sqrt{5}}{3 + 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + 2 \sqrt{5}}{3 + 2 \sqrt{5}}$

Этап 4

Умножим $\frac{4 \sqrt{5}}{3 - 2 \sqrt{5}}$ на $\frac{3 + 2 \sqrt{5}}{3 + 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5} (3 + 2 \sqrt{5})}{(3 - 2 \sqrt{5}) (3 + 2 \sqrt{5})}$

Этап 5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{4 \sqrt{5} (3 + 2 \sqrt{5})}{9 + 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

$\frac{4 \sqrt{5} (3 + 2 \sqrt{5})}{- 11}$

Этап 7

Сгруппируем $3 + 2 \sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$ .

$\frac{4 ((3 + 2 \sqrt{5}) \sqrt{5})}{- 11}$

Этап 8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5})}{- 11}$

Этап 9

Умножим $2 \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}))}{- 11}$

Этап 9.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}))}{- 11}$

Этап 9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 {\sqrt{5}}^{1 + 1})}{- 11}$

Этап 9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 {\sqrt{5}}^{2})}{- 11}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 11}$

Этап 10.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 11}$

Этап 10.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}{- 11}$

Этап 10.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}{- 11}$

Этап 10.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5^{1})}{- 11}$

Этап 10.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 2 \cdot 5)}{- 11}$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{4 (3 \sqrt{5} + 10)}{- 11}$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (3 \sqrt{5} + 10)}{11}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{4 (3 \sqrt{5} + 10)}{11}$

Десятичная форма:

$- 6.07571052 \dots$