Элемент. математика Примеры

$\frac{\sqrt{60} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$\frac{\sqrt{4 (15)} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 15} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Этап 1.3

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{4 (5)}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Этап 1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Этап 1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{15} - (2 \sqrt{5})}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Этап 2

Умножим $\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{(\sqrt{5} - \sqrt{15}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}$

Этап 3.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{75} - \sqrt{75} - {\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 10}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}$ и $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})$ .

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{- 10}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{2 (- 5)}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{2 \cdot - 5}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{15} (\sqrt{5} + \sqrt{15}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{15 \cdot 5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $15$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.3.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15 \cdot 15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.6

Умножим $15$ на $15$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{225} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.7

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15^{2}} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.9

Умножим $- \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.9.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.9.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {\sqrt{5}}^{1 + 1} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.10

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{1} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.10.5

Найдем экспоненту.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 1 \cdot 5 - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.11

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

Этап 4.2.1.12

Умножим $- \sqrt{5} \sqrt{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{15 \cdot 5}}{- 5}$

Этап 4.2.1.12.2

Умножим $15$ на $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{75}}{- 5}$

Этап 4.2.1.13

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.13.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{25 (3)}}{- 5}$

Этап 4.2.1.13.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{- 5}$

Этап 4.2.1.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - (5 \sqrt{3})}{- 5}$

Этап 4.2.1.15

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - 5 \sqrt{3}}{- 5}$

Этап 4.2.2

Вычтем $5 \sqrt{3}$ из $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 15 - 5}{- 5}$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $15$ .

$\frac{15 - 5}{- 5}$

Этап 4.2.4

Вычтем $5$ из $15$ .

$\frac{10}{- 5}$

Этап 5

Разделим $10$ на $- 5$ .

$- 2$