Элемент. математика Примеры

$\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} + \sqrt{g}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} + \sqrt{g}}$ на $\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} - \sqrt{g}}$ .

$\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} + \sqrt{g}} \cdot \frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} - \sqrt{g}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} + \sqrt{g}}$ на $\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{\sqrt{f} - \sqrt{g}}$ .

$\frac{(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{(\sqrt{f} + \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{{\sqrt{f}}^{2} - \sqrt{f g} + \sqrt{g f} - {\sqrt{g}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $\sqrt{f} - \sqrt{g}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{1} (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt{f} - \sqrt{g}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{1} {(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{1}}{f - g}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{1 + 1}}{f - g}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{2}}{f - g}$

Этап 4

Перепишем ${(\sqrt{f} - \sqrt{g})}^{2}$ в виде $(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})$ .

$\frac{(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 5

Развернем $(\sqrt{f} - \sqrt{g}) (\sqrt{f} - \sqrt{g})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{f} (\sqrt{f} - \sqrt{g}) - \sqrt{g} (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{f} \sqrt{f} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} (\sqrt{f} - \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{f} \sqrt{f} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $\sqrt{f} \sqrt{f}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Возведем $\sqrt{f}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{f}}^{1} \sqrt{f} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.1.2

Возведем $\sqrt{f}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{f}}^{1} {\sqrt{f}}^{1} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sqrt{f}}^{1 + 1} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\sqrt{f}}^{2} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.2

Перепишем ${\sqrt{f}}^{2}$ в виде $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{f}$ в виде $f^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(f^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{f^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{f^{\frac{2}{2}} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f^{\frac{2}{2}} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{f^{1} + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.2.5

Упростим.

$\frac{f + \sqrt{f} (- \sqrt{g}) - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{f - \sqrt{f} \sqrt{g} - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{g} \sqrt{f} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} - \sqrt{g} (- \sqrt{g})}{f - g}$

Этап 6.1.6

Умножим $- \sqrt{g} (- \sqrt{g})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + 1 \sqrt{g} \sqrt{g}}{f - g}$

Этап 6.1.6.2

Умножим $\sqrt{g}$ на $1$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + \sqrt{g} \sqrt{g}}{f - g}$

Этап 6.1.6.3

Возведем $\sqrt{g}$ в степень $1$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + {\sqrt{g}}^{1} \sqrt{g}}{f - g}$

Этап 6.1.6.4

Возведем $\sqrt{g}$ в степень $1$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + {\sqrt{g}}^{1} {\sqrt{g}}^{1}}{f - g}$

Этап 6.1.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + {\sqrt{g}}^{1 + 1}}{f - g}$

Этап 6.1.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + {\sqrt{g}}^{2}}{f - g}$

Этап 6.1.7

Перепишем ${\sqrt{g}}^{2}$ в виде $g$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{g}$ в виде $g^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + {(g^{\frac{1}{2}})}^{2}}{f - g}$

Этап 6.1.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + g^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{f - g}$

Этап 6.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + g^{\frac{2}{2}}}{f - g}$

Этап 6.1.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + g^{\frac{2}{2}}}{f - g}$

Этап 6.1.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + g^{1}}{f - g}$

Этап 6.1.7.5

Упростим.

$\frac{f - \sqrt{g f} - \sqrt{f g} + g}{f - g}$

Этап 6.2

Вычтем $\sqrt{f g}$ из $- \sqrt{g f}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Изменим порядок $g$ и $f$ .

$\frac{f - \sqrt{f g} - \sqrt{f g} + g}{f - g}$

Этап 6.2.2

Вычтем $\sqrt{f g}$ из $- \sqrt{f g}$ .

$\frac{f - 2 \sqrt{f g} + g}{f - g}$