Элемент. математика Примеры

$\frac{z^{2} - 4}{z^{2} + 2 z - 35} \div \frac{z^{2} + 2 z}{z^{2} - 10 z + 25}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{z^{2} - 4}{z^{2} + 2 z - 35} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 2^{2}}{z^{2} + 2 z - 35} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = 2$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{z^{2} + 2 z - 35} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Этап 3

Разложим $z^{2} + 2 z - 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 35$ , а сумма — $2$ .

$- 5, 7$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{z^{2} - 10 z + 5^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Этап 4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 z = 2 \cdot z \cdot 5$

Этап 4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{z^{2} - 2 \cdot z \cdot 5 + 5^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = z$ и $b = 5$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $z$ из $z^{2} + 2 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $z$ из $z^{2}$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z \cdot z + 2 z}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $z$ из $2 z$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z \cdot z + z \cdot 2}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $z$ из $z \cdot z + z \cdot 2$ .

$\frac{(z + 2) (z - 2)}{(z - 5) (z + 7)} \cdot \frac{{(z - 5)}^{2}}{z (z + 2)}$

Этап 5.2

Объединим.

$\frac{(z + 2) (z - 2) {(z - 5)}^{2}}{(z - 5) (z + 7) (z (z + 2))}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $z + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(z + 2) (z - 2) {(z - 5)}^{2}}{(z - 5) (z + 7) (z (z + 2))}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(z - 2) {(z - 5)}^{2}}{(z - 5) (z + 7) (z)}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель ${(z - 5)}^{2}$ и $z - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $z - 5$ из $(z - 2) {(z - 5)}^{2}$ .

$\frac{(z - 5) ((z - 2) (z - 5))}{(z - 5) (z + 7) (z)}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $z - 5$ из $(z - 5) (z + 7) (z)$ .

$\frac{(z - 5) ((z - 2) (z - 5))}{(z - 5) ((z + 7) (z))}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(z - 5) ((z - 2) (z - 5))}{(z - 5) ((z + 7) (z))}$

Этап 5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(z - 2) (z - 5)}{(z + 7) (z)}$

Этап 5.5

Изменим порядок множителей в $\frac{(z - 2) (z - 5)}{(z + 7) (z)}$ .

$\frac{(z - 2) (z - 5)}{z (z + 7)}$