Элемент. математика Примеры

$\frac{z^{2} - y^{2}}{z^{- 2} - y^{- 2}}$

Этап 1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{z^{- 2} - y^{- 2}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $z^{- 2}$ в виде ${(z^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{{(z^{- 1})}^{2} - y^{- 2}}$

Этап 2.2

Перепишем $y^{- 2}$ в виде ${(y^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{{(z^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z^{- 1}$ и $b = y^{- 1}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(z^{- 1} + y^{- 1}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} + y^{- 1}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Этап 2.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} + \frac{1}{y}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Этап 2.4.3

Чтобы записать $\frac{1}{z}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Этап 2.4.4

Чтобы записать $\frac{1}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Этап 2.4.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $z y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Умножим $\frac{1}{z}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{z y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Этап 2.4.5.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{z y} + \frac{z}{y z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Этап 2.4.5.3

Изменим порядок множителей в $z y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{y z} + \frac{z}{y z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Этап 2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Этап 2.4.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} - y^{- 1})}$

Этап 2.4.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} - \frac{1}{y})}$

Этап 2.4.9

Чтобы записать $\frac{1}{z}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Этап 2.4.10

Чтобы записать $- \frac{1}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z})}$

Этап 2.4.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $z y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.11.1

Умножим $\frac{1}{z}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{z y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z})}$

Этап 2.4.11.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{z y} - \frac{z}{y z})}$

Этап 2.4.11.3

Изменим порядок множителей в $z y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{y z} - \frac{z}{y z})}$

Этап 2.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} \cdot \frac{y - z}{y z}}$

Этап 3

Умножим $\frac{y + z}{y z}$ на $\frac{y - z}{y z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y z (y z)}}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1} y z \cdot z}}$

Этап 4.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1} y^{1} z \cdot z}}$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1 + 1} z \cdot z}}$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z \cdot z}}$

Этап 4.5

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} (z^{1} z)}}$

Этап 4.6

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} (z^{1} z^{1})}}$

Этап 4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z^{1 + 1}}}$

Этап 4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z^{2}}}$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(z + y) (z - y) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 6

Развернем $(z + y) (z - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(z (z - y) + y (z - y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(z \cdot z + z (- y) + y (z - y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(z \cdot z + z (- y) + y z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим противоположные члены в $z \cdot z + z (- y) + y z + y (- y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Изменим порядок множителей в членах $z (- y)$ и $y z$ .

$(z \cdot z - y z + y z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 7.1.2

Добавим $- y z$ и $y z$ .

$(z \cdot z + 0 + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 7.1.3

Добавим $z \cdot z$ и $0$ .

$(z \cdot z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $z$ на $z$ .

$(z^{2} + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 7.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(z^{2} - y \cdot y) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 7.2.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перенесем $y$ .

$(z^{2} - (y \cdot y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$(z^{2} - y^{2}) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 7.3

Умножим $z^{2} - y^{2}$ на $\frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) (y^{2} z^{2})}{(y + z) (y - z)}$

Этап 8

$\frac{(z + y) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 9

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $z + y$ и $y + z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(y + z) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(y + z) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Этап 9.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(z - y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $z - y$ и $y - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $z$ .

$\frac{(- 1 (- z) - y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{(- 1 (- z) - (y)) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- z) - (y)$ .

$\frac{- 1 (- z + y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Этап 9.2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (y - z) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Этап 9.2.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (y - z) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Этап 9.2.6

Разделим $- 1 y^{2} z^{2}$ на $1$ .

$- 1 y^{2} z^{2}$

Этап 9.3

Перепишем $- 1 y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$- y^{2} z^{2}$